题目
lim _(xarrow infty )(x)^2(sqrt (dfrac {1+{x)^2}({x)^2}}-1)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简根号内的表达式
首先，我们化简根号内的表达式 $\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}$。由于 $x^2$ 在分母上，我们可以将根号内的表达式写为 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$。
步骤 2：应用极限
接下来，我们考虑当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\dfrac{1}{x^2} \rightarrow 0$。因此，$\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \rightarrow \sqrt{1 + 0} = 1$。
步骤 3：计算极限
现在，我们计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty} x^2(\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} - 1)$。由于 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} - 1$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时趋近于 $0$，我们使用泰勒展开式来近似 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$。泰勒展开式告诉我们 $\sqrt{1 + y} \approx 1 + \dfrac{y}{2}$ 当 $y$ 接近 $0$。因此，$\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \approx 1 + \dfrac{1}{2x^2}$。将这个近似值代入原极限表达式，我们得到 $\lim_{x \rightarrow \infty} x^2(1 + \dfrac{1}{2x^2} - 1) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^2 \cdot \dfrac{1}{2x^2} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$。
首先，我们化简根号内的表达式 $\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}$。由于 $x^2$ 在分母上，我们可以将根号内的表达式写为 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$。
步骤 2：应用极限
接下来，我们考虑当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\dfrac{1}{x^2} \rightarrow 0$。因此，$\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \rightarrow \sqrt{1 + 0} = 1$。
步骤 3：计算极限
现在，我们计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty} x^2(\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} - 1)$。由于 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} - 1$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时趋近于 $0$，我们使用泰勒展开式来近似 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$。泰勒展开式告诉我们 $\sqrt{1 + y} \approx 1 + \dfrac{y}{2}$ 当 $y$ 接近 $0$。因此，$\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \approx 1 + \dfrac{1}{2x^2}$。将这个近似值代入原极限表达式，我们得到 $\lim_{x \rightarrow \infty} x^2(1 + \dfrac{1}{2x^2} - 1) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^2 \cdot \dfrac{1}{2x^2} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$。