题目
(int )_(L)dfrac (-ydx+xdy)({x)^2+(y)^2}在区域(int )_(L)dfrac (-ydx+xdy)({x)^2+(y)^2}上不是与路径无关。A、正确B、错误
在区域
上不是与路径无关。
A、正确
B、错误
题目解答
答案
首先将化简所以有
所以
所以分别求偏导数有
所以可以知道
所以在区域上是与路径无关的，故题目命题是错误的，选择B选项。
解析
步骤 1：化简积分表达式
将给定的积分表达式化简为两个部分，即$\int \dfrac {-ydx+xdy}{{x}^{2}+{y}^{2}}={\int }_{L}^{-\dfrac {ydx}{{x}^{2}+{y}^{2}}}+\dfrac {xdy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。这样可以将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：定义P(x,y)和Q(x,y)
定义$P(x,y)=\dfrac {-y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$和$Q(x,y)=\dfrac {x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。这是为了方便计算偏导数。
步骤 3：计算偏导数
计算$\dfrac {\partial P}{\partial y}$和$\dfrac {\partial Q}{\partial x}$。根据定义，我们有$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {-({x}^{2}+{y}^{2})-2y(-y)}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}=\dfrac {{y}^{2}-{x}^{2}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}$和$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {({x}^{2}+{y}^{2})-2{x}^{2}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}=\dfrac {{y}^{2}-{x}^{2}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}$。可以看出，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$。
步骤 4：判断路径无关性
由于$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，根据格林定理，积分${\int }_{L}\dfrac {-ydx+xdy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$在区域$D=\{ (x,y)|(x,y)\neq (0,0)\} $上是与路径无关的。因此，题目中的命题是错误的。
将给定的积分表达式化简为两个部分，即$\int \dfrac {-ydx+xdy}{{x}^{2}+{y}^{2}}={\int }_{L}^{-\dfrac {ydx}{{x}^{2}+{y}^{2}}}+\dfrac {xdy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。这样可以将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：定义P(x,y)和Q(x,y)
定义$P(x,y)=\dfrac {-y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$和$Q(x,y)=\dfrac {x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。这是为了方便计算偏导数。
步骤 3：计算偏导数
计算$\dfrac {\partial P}{\partial y}$和$\dfrac {\partial Q}{\partial x}$。根据定义，我们有$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {-({x}^{2}+{y}^{2})-2y(-y)}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}=\dfrac {{y}^{2}-{x}^{2}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}$和$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {({x}^{2}+{y}^{2})-2{x}^{2}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}=\dfrac {{y}^{2}-{x}^{2}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}$。可以看出，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$。
步骤 4：判断路径无关性
由于$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，根据格林定理，积分${\int }_{L}\dfrac {-ydx+xdy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$在区域$D=\{ (x,y)|(x,y)\neq (0,0)\} $上是与路径无关的。因此，题目中的命题是错误的。