单选题（共20题，60.0分）20.（3.0分）设X与Y是两个相互独立的随机变量，概率密度函数分别为f_(x)(x)=}(1)/(2)e^-(x)/(2),x>0.0,xleq0.则Z=X+Y的概率密度函数为（）。Af_(z)(z)=}e^-(z)/(3)(1-e^-(z)/(3)),zgeq00,z<0B 以上结论都不对Cf_(z)(z)=}e^-(z)/(3)(1-e^-(z)/(3)),zgeq00,z<0

为了找到 $Z = X + Y$ 的概率密度函数，其中 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，概率密度函数分别为 \[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases} \] \[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3}e^{-\frac{y}{3}}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0, \end{cases} \] 我们使用两个独立随机变量之和的卷积公式。$Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 由下式给出 \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. \] 由于 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 都在 $x > 0$ 和 $y > 0$ 时非零，积分简化为 \[ f_Z(z) = \int_{0}^{z} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. \] 将 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 的表达式代入，我们得到 \[ f_Z(z) = \int_{0}^{z} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{3}e^{-\frac{z-x}{3}} \, dx. \] 合并指数项，我们有 \[ f_Z(z) = \frac{1}{6} \int_{0}^{z} e^{-\frac{x}{2}} e^{-\frac{z}{3} + \frac{x}{3}} \, dx = \frac{1}{6} e^{-\frac{z}{3}} \int_{0}^{z} e^{-\frac{x}{2} + \frac{x}{3}} \, dx. \] 简化指数项的指数，我们得到 \[ -\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = -\frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = -\frac{x}{6}. \] 因此，积分变为 \[ f_Z(z) = \frac{1}{6} e^{-\frac{z}{3}} \int_{0}^{z} e^{-\frac{x}{6}} \, dx. \] 为了解积分，我们使用替换 $u = -\frac{x}{6}$，所以 $du = -\frac{1}{6} dx$ 和 $dx = -6 du$。当 $x = 0$ 时，$u = 0$，当 $x = z$ 时，$u = -\frac{z}{6}$。积分变为 \[ \int_{0}^{z} e^{-\frac{x}{6}} \, dx = -6 \int_{0}^{-\frac{z}{6}} e^u \, du = -6 \left[ e^u \right]_{0}^{-\frac{z}{6}} = -6 \left( e^{-\frac{z}{6}} - 1 \right) = 6 \left( 1 - e^{-\frac{z}{6}} \right). \] 将此代回 $f_Z(z)$ 的表达式中，我们得到 \[ f_Z(z) = \frac{1}{6} e^{-\frac{z}{3}} \cdot 6 \left( 1 - e^{-\frac{z}{6}} \right) = e^{-\frac{z}{3}} \left( 1 - e^{-\frac{z}{6}} \right). \] 因此，$Z$ 的概率密度函数为 \[ f_Z(z) = \begin{cases} e^{-\frac{z}{3}} \left( 1 - e^{-\frac{z}{6}} \right), & z \geq 0, \\ 0, & z < 0. \end{cases} \] 正确答案是 $\boxed{B}$。