题目
【题目】设方阵A满足 A^2-A-2E=0 ,证明A及A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵。
【题目】设方阵A满足 A^2-A-2E=0 ,证明A及A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵。
题目解答
答案
【解析】证明:因为:A^2-A-2E=0 所以,上式化简为:A(A-E)=2EA[(1/2)(A-E)]=E 所以根据可逆阵的定义,得A可逆,且:A∼(-1)=(1/2)(A-E) ;而根据A^2-A-2E=(A+2E)(A-3E)-4E=0 可知:(A+2E)[-1/4(A-3E)]=E 因此A+2E是可逆阵，且(A+2E)*(-1)=(-1/4)(A-3E)
解析
步骤 1：证明A可逆
给定方程 A^2 - A - 2E = 0，可以重写为 A(A - E) = 2E。这意味着 A 乘以 (A - E) 的结果是 2E，即 A 乘以 (1/2)(A - E) 的结果是 E。根据可逆矩阵的定义，如果一个矩阵乘以另一个矩阵的结果是单位矩阵 E，那么这两个矩阵互为逆矩阵。因此，A 可逆，且 A 的逆矩阵为 (1/2)(A - E)。
步骤 2：证明A+2E可逆
给定方程 A^2 - A - 2E = 0，可以重写为 A^2 - A = 2E。将方程两边同时加上 3A + 4E，得到 A^2 + 2A + 4E = 3A + 6E，即 (A + 2E)(A - E) = 3(A + 2E)。这意味着 (A + 2E) 乘以 (A - E) 的结果是 3(A + 2E)，即 (A + 2E) 乘以 (1/3)(A - E) 的结果是 E。根据可逆矩阵的定义，如果一个矩阵乘以另一个矩阵的结果是单位矩阵 E，那么这两个矩阵互为逆矩阵。因此，A + 2E 可逆，且 A + 2E 的逆矩阵为 (1/3)(A - E)。
步骤 3：求A和A+2E的逆矩阵
根据步骤 1 和步骤 2 的推导，A 的逆矩阵为 (1/2)(A - E)，A + 2E 的逆矩阵为 (1/3)(A - E)。
给定方程 A^2 - A - 2E = 0，可以重写为 A(A - E) = 2E。这意味着 A 乘以 (A - E) 的结果是 2E，即 A 乘以 (1/2)(A - E) 的结果是 E。根据可逆矩阵的定义，如果一个矩阵乘以另一个矩阵的结果是单位矩阵 E，那么这两个矩阵互为逆矩阵。因此，A 可逆，且 A 的逆矩阵为 (1/2)(A - E)。
步骤 2：证明A+2E可逆
给定方程 A^2 - A - 2E = 0，可以重写为 A^2 - A = 2E。将方程两边同时加上 3A + 4E，得到 A^2 + 2A + 4E = 3A + 6E，即 (A + 2E)(A - E) = 3(A + 2E)。这意味着 (A + 2E) 乘以 (A - E) 的结果是 3(A + 2E)，即 (A + 2E) 乘以 (1/3)(A - E) 的结果是 E。根据可逆矩阵的定义，如果一个矩阵乘以另一个矩阵的结果是单位矩阵 E，那么这两个矩阵互为逆矩阵。因此，A + 2E 可逆，且 A + 2E 的逆矩阵为 (1/3)(A - E)。
步骤 3：求A和A+2E的逆矩阵
根据步骤 1 和步骤 2 的推导，A 的逆矩阵为 (1/2)(A - E)，A + 2E 的逆矩阵为 (1/3)(A - E)。