求出下列函数的反函数，并在同一个平面直角坐标系内作出它们的图象.(1)y=dfrac(3)(2)x+6；(2)y=(x)^dfrac(3{2)}.

题目考察内容

本题主要考察反函数的求解方法，以及一次函数、幂函数的反函数图像特征。

（1）求$y=\frac{3}{2}x+6$的反函数

步骤1：交换$x$和$y$的位置

反函数的求解核心是从原函数中解出$(x$，再交换$x$和$y$。
原函数：$y=\frac{3}{2}x+6$
交换$x$和$y$：$x=\frac{3}{2}y+6$ )

步骤2：解出$y$

$\begin{align*}x&=\frac{3}{2}y+6\\x-6&=\frac{3}{2}y\\y&=\frac{2}{3}(x-6)\\y&=\frac{2}{3}x-4\end{align*}$
反函数：$y=\frac{2}{3}x-4$

（2）求$y=x^{\frac{3}{2}}$)的反函数

步骤1：明确原函数定义域和值域

$y=x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}=\sqrt{x}}$，定义域为$x\geq0$，值域为$y\geq0$。

步骤2：交换$x$和$y$并解出$y$

原函数：$y=x^{\frac{32}$
交换$x$和$y$：$x=y^{\frac32}$
两边同时平方：$x^{\frac23}=(y^{\frac32})^{\frac23}=y$
反函数：$y=x^{\frac23}$

图像特征

• 原函数$y=\frac{3}{2}x+6$是斜率为$\frac{3}{2}$的直线，反函数$y=\frac{2}{3}x-4$是斜率为$\frac{2}{3}$的直线，两直线关于$y=x$对称。
• 原函数$2)\(y=x^{\frac32}$是幂函数（$x\geq0$，单调递增），反函数$y=x^{\frac23}$也是幂函数（$x\geq0$，单调递增），两曲线关于$y=x$对称。