题目
求曲线 =(e)^-x 与直线 y=0 之间位于第一象限的平面图形的面积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
曲线 $y={e}^{-x}$ 与直线 y=0 之间位于第一象限的平面图形的面积，即求曲线 $y={e}^{-x}$ 与x轴之间在第一象限的平面图形的面积。由于曲线 $y={e}^{-x}$ 在第一象限从x=0开始，一直延伸到正无穷，因此积分区间为 $[0, +\infty)$。
步骤 2：计算定积分
为了计算面积，我们需要计算定积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x}dx$。首先，我们找到 ${e}^{-x}$ 的原函数，即 $-{e}^{-x}$。然后，我们计算原函数在积分区间的差值，即 $-{e}^{-x}{\int }_{0}^{+\infty }$。
步骤 3：计算面积
将原函数在积分区间的差值计算出来，即 $-{e}^{-x}{\int }_{0}^{+\infty }=-{e}^{-x}{\int }_{0}^{+\infty }=-{e}^{-\infty }+{e}^{0}=0+1=1$。因此，曲线 $y={e}^{-x}$ 与直线 y=0 之间位于第一象限的平面图形的面积为1。
曲线 $y={e}^{-x}$ 与直线 y=0 之间位于第一象限的平面图形的面积，即求曲线 $y={e}^{-x}$ 与x轴之间在第一象限的平面图形的面积。由于曲线 $y={e}^{-x}$ 在第一象限从x=0开始，一直延伸到正无穷，因此积分区间为 $[0, +\infty)$。
步骤 2：计算定积分
为了计算面积，我们需要计算定积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x}dx$。首先，我们找到 ${e}^{-x}$ 的原函数，即 $-{e}^{-x}$。然后，我们计算原函数在积分区间的差值，即 $-{e}^{-x}{\int }_{0}^{+\infty }$。
步骤 3：计算面积
将原函数在积分区间的差值计算出来，即 $-{e}^{-x}{\int }_{0}^{+\infty }=-{e}^{-x}{\int }_{0}^{+\infty }=-{e}^{-\infty }+{e}^{0}=0+1=1$。因此，曲线 $y={e}^{-x}$ 与直线 y=0 之间位于第一象限的平面图形的面积为1。