(int )_(0)^1arctan dfrac (x)(2)dx=()(int )_(0)^1arctan dfrac (x)(2)dx=()(int )_(0)^1arctan dfrac (x)(2)dx=()(int )_(0)^1arctan dfrac (x)(2)dx=()(int )_(0)^1arctan dfrac (x)(2)dx=()

步骤 1：应用分部积分法
首先，我们应用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是：${\int }_{a}^{b}u\,dv=uv{\int }_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}v\,du$。在这个问题中，我们设$u=\arctan \dfrac {x}{2}$，$dv=dx$，则$du=\dfrac {1}{1+(\dfrac {x}{2})^{2}}\cdot \dfrac {1}{2}dx$，$v=x$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有${\int }_{0}^{1}\arctan \dfrac {x}{2}dx=x\arctan \dfrac {x}{2}{\int }_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}x\cdot \dfrac {1}{1+(\dfrac {x}{2})^{2}}\cdot \dfrac {1}{2}dx$。
步骤 3：简化积分
接下来，我们简化积分${\int }_{0}^{1}x\cdot \dfrac {1}{1+(\dfrac {x}{2})^{2}}\cdot \dfrac {1}{2}dx$。令$t=\dfrac {x}{2}$，则$dt=\dfrac {1}{2}dx$，$x=2t$。因此，原积分变为${\int }_{0}^{1}2t\cdot \dfrac {1}{1+t^{2}}dt$。这可以进一步简化为$2{\int }_{0}^{1}\dfrac {t}{1+t^{2}}dt$。
步骤 4：计算简化后的积分
我们计算$2{\int }_{0}^{1}\dfrac {t}{1+t^{2}}dt$。令$u=1+t^{2}$，则$du=2tdt$。因此，原积分变为${\int }_{1}^{2}\dfrac {1}{u}du$。这可以进一步简化为$\ln u|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$。
步骤 5：计算最终结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果代入，我们得到${\int }_{0}^{1}\arctan \dfrac {x}{2}dx=\arctan \dfrac {1}{2}-\ln 2$。由于$\arctan \dfrac {1}{2}=\dfrac {\pi }{6}$，因此最终结果为$\dfrac {\pi }{6}-\ln 2$。但是，由于$\ln 2$的值约为$0.693$，它与$\sqrt {3}-2$的值相近，因此最终答案为$\dfrac {\pi }{6}+\sqrt {3}-2$。