(8) lim _(xarrow 0)dfrac (xtan x)(sqrt {1-{x)^2}-1}

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分母有理化、等价无穷小替换或泰勒展开的应用。

解题核心思路：

1. 分母有理化：将分母$\sqrt{1-x^2}-1$乘以共轭$\sqrt{1-x^2}+1$，化简表达式。
2. 约分简化：通过约分消去高阶无穷小项，将复杂分式转化为简单形式。
3. 等价无穷小替换：利用$\tan x \sim x$（当$x \to 0$）进一步简化分子，或用泰勒展开分析分母。

破题关键点：

• 识别分母为$\sqrt{1-x^2}-1$的结构，通过有理化消除根号。
• 灵活应用等价无穷小或泰勒展开，快速化简表达式。

步骤1：分母有理化
将分母$\sqrt{1-x^2}-1$乘以共轭$\sqrt{1-x^2}+1$，分子分母同乘：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\tan x}{\sqrt {1-{x}^{2}}-1} &= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\tan x \cdot (\sqrt{1-x^2}+1)}{(\sqrt{1-x^2}-1)(\sqrt{1-x^2}+1)} \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\tan x \cdot (\sqrt{1-x^2}+1)}{(1-x^2)-1} \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\tan x \cdot (\sqrt{1-x^2}+1)}{-x^2}.\end{aligned}$

步骤2：约分简化
分子分母约去$x$，得：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x \cdot (\sqrt{1-x^2}+1)}{-x}.$

步骤3：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\tan x \sim x$，代入得：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x \cdot (\sqrt{1-x^2}+1)}{-x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt{1-x^2}+1}{-1}.$

步骤4：代入$x=0$计算
$\sqrt{1-0}+1 = 2$，故极限值为：
$\dfrac{2}{-1} = -2.$