题目
(15分)如图,四棱锥 P-ABCD 中, bot 底面ABCD, PA=AC=2 =1,-|||-=sqrt (3).-|||-(1)若 bot PB, 证明: ykparallel 平面P BC;-|||-(2)若 bot DC, 且二面角 A-CP-D 的正弦值为 dfrac (sqrt {42)}(7), 求AD.-|||-P-|||-D-|||----|||-A ----- C-|||-B
题目解答
答案
解析
(1)步骤 1：证明 $AD\bot $ 平面PAB
因为 $PA\bot $ 平面A ABCD,而AD二平面
ABCD 所以 $PA\bot AD$, 又 $AD\bot PB$ $PB\cap PA=P$ ,PB,PA⊆平面 PAB ,所以 $AD\bot $ 平面PAB,
步骤 2：证明 $AD\ykparallel $ 平面PBC
因为ABC平面PAB,所以 $AD\bot AB$. 因为 ${BC}^{2}+{AB}^{2}={AC}^{2}$ ,所以 $BC\bot AB$ 根据平 面知识可知 $AD\ykparallel BC$, 又 $AD\bot $ 平面P PBC,BC⊆平面PBC,所以 $AD\ykparallel $ 平面PBC.
(2)步骤 1：确定二面角 A-CP-D 的平面角
如图所示,过点D作 $DE\bot AC$ 于E,再过点 E作 $EF\bot CP$ 于F,连接DF, 因为 $PA\bot $ 平面ABCD,所以平面 $PAC\bot $ 平面 ABCD 而平面PACC平面 $ABCD=AC$, 所以 $DE\bot $ 平面PAC,又 $EF\bot CP$ ,所以 $CP\bot $ 平 面DEF, 根据二面角的定义可知, $\angle DFE$ 即为二面角 A-CP-D 的平面角, 即 $\sin \angle DFE=\dfrac {\sqrt {42}}{7}$ ,即 $\tan \angle DFE=\sqrt {6}$.
步骤 2：计算AD的长度
因为 $AD\bot DC$ 设 AD=x ,则 $CD=\sqrt {4-{x}^{2}}$, 由等面积法可得, $DE=\dfrac {x\sqrt {4-{x}^{2}}}{2}$, 又 $CE=\sqrt {(4-{x}^{2})-\dfrac {{x}^{2}(4-{x}^{2})}}{4}=\dfrac {4-{x}^{2}}{2}$ 而$\Delta EFC$ 为等腰直角三角形,所以 $EF=\dfrac {4-{x}^{2}}{2\sqrt {2}}$ , 故 $\tan \angle DFE=\dfrac {\dfrac {x\sqrt {4-{x}^{2}}}{\dfrac {4-{x}^{2}}{2\sqrt {2}}}=\sqrt {6}$ 解得 $x=\sqrt {3}$ 即 $AD=\sqrt {3}$.
因为 $PA\bot $ 平面A ABCD,而AD二平面
ABCD 所以 $PA\bot AD$, 又 $AD\bot PB$ $PB\cap PA=P$ ,PB,PA⊆平面 PAB ,所以 $AD\bot $ 平面PAB,
步骤 2：证明 $AD\ykparallel $ 平面PBC
因为ABC平面PAB,所以 $AD\bot AB$. 因为 ${BC}^{2}+{AB}^{2}={AC}^{2}$ ,所以 $BC\bot AB$ 根据平 面知识可知 $AD\ykparallel BC$, 又 $AD\bot $ 平面P PBC,BC⊆平面PBC,所以 $AD\ykparallel $ 平面PBC.
(2)步骤 1：确定二面角 A-CP-D 的平面角
如图所示,过点D作 $DE\bot AC$ 于E,再过点 E作 $EF\bot CP$ 于F,连接DF, 因为 $PA\bot $ 平面ABCD,所以平面 $PAC\bot $ 平面 ABCD 而平面PACC平面 $ABCD=AC$, 所以 $DE\bot $ 平面PAC,又 $EF\bot CP$ ,所以 $CP\bot $ 平 面DEF, 根据二面角的定义可知, $\angle DFE$ 即为二面角 A-CP-D 的平面角, 即 $\sin \angle DFE=\dfrac {\sqrt {42}}{7}$ ,即 $\tan \angle DFE=\sqrt {6}$.
步骤 2：计算AD的长度
因为 $AD\bot DC$ 设 AD=x ,则 $CD=\sqrt {4-{x}^{2}}$, 由等面积法可得, $DE=\dfrac {x\sqrt {4-{x}^{2}}}{2}$, 又 $CE=\sqrt {(4-{x}^{2})-\dfrac {{x}^{2}(4-{x}^{2})}}{4}=\dfrac {4-{x}^{2}}{2}$ 而$\Delta EFC$ 为等腰直角三角形,所以 $EF=\dfrac {4-{x}^{2}}{2\sqrt {2}}$ , 故 $\tan \angle DFE=\dfrac {\dfrac {x\sqrt {4-{x}^{2}}}{\dfrac {4-{x}^{2}}{2\sqrt {2}}}=\sqrt {6}$ 解得 $x=\sqrt {3}$ 即 $AD=\sqrt {3}$.