题目
29.一无限长直导线通有电流 =(I)_(0)(e)^-3t .一矩形线圈与长直导线共面放置,其-|||-长边与导线平行,位置如图所示,求:-|||-(1)矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向;-|||-(2)导线与线圈的互感系数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算磁通量
根据安培环路定理，无限长直导线产生的磁场为 $B=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}$，其中 $r$ 是导线到矩形线圈的距离。矩形线圈的面积为 $A=ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是矩形线圈的长和宽。因此，穿过矩形线圈的磁通量为 $\phi =\int B\cdot dA=\int_{a}^{a+b}\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}dr=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}$。
步骤 2：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 $e=-\dfrac{d\phi}{dt}=-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}\right)=-\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{0}}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}\dfrac{d}{dt}\left({e}^{-3t}\right)=\dfrac{3{\mu}_{0}{I}_{0}}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}{e}^{-3t}$。
步骤 3：确定感应电流方向
根据楞次定律，感应电流的方向与原电流方向相反，即顺时针方向。
步骤 4：计算互感系数
互感系数 $M$ 定义为 $M=\dfrac{\phi}{I}=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}\div I=\dfrac{{\mu}_{0}}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}$。
根据安培环路定理，无限长直导线产生的磁场为 $B=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}$，其中 $r$ 是导线到矩形线圈的距离。矩形线圈的面积为 $A=ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是矩形线圈的长和宽。因此，穿过矩形线圈的磁通量为 $\phi =\int B\cdot dA=\int_{a}^{a+b}\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}dr=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}$。
步骤 2：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 $e=-\dfrac{d\phi}{dt}=-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}\right)=-\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{0}}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}\dfrac{d}{dt}\left({e}^{-3t}\right)=\dfrac{3{\mu}_{0}{I}_{0}}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}{e}^{-3t}$。
步骤 3：确定感应电流方向
根据楞次定律，感应电流的方向与原电流方向相反，即顺时针方向。
步骤 4：计算互感系数
互感系数 $M$ 定义为 $M=\dfrac{\phi}{I}=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}\div I=\dfrac{{\mu}_{0}}{2\pi}\ln \dfrac{b}{a}$。