题目

记Delta ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知Delta ABC．(1)若Delta ABC，求C；(2)证明：Delta ABC

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查三角形中的三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的应用，以及方程求解能力。

解题思路：

  1. 第（1）题：利用三角形内角和为$\pi$，结合已知条件$A=2B$，将角$C$表示为$\pi - 3B$，代入原方程$\sin C \sin(A-B) = \sin B \sin(C-A)$，通过三角恒等式化简后解关于$B$的方程，最终求得$C$的值。
  2. 第（2）题：将原方程通过三角恒等变形，结合正弦定理和余弦定理，推导出边长关系$2a^2 = b^2 + c^2$。

破题关键：

  • 第（1）题：通过角度关系消元，将方程转化为关于单一变量$B$的三角方程。
  • 第（2）题：将三角恒等式转化为边长关系，灵活运用正弦定理和余弦定理的桥梁作用。

第（1）题

已知：$A = 2B$，且$A + B + C = \pi$，得$C = \pi - 3B$。代入原方程：
$\sin C \sin(A-B) = \sin B \sin(C-A)$

步骤分解：

  1. 代入角度关系：

    • 左边：$\sin(\pi - 3B) \sin(B) = \sin(3B) \sin B$（因$\sin(\pi - x) = \sin x$）
    • 右边：$\sin B \sin(\pi - 5B) = \sin B \sin(5B)$

    方程化简为：
    $\sin(3B) \sin B = \sin B \sin(5B)$

  2. 消去公共因子$\sin B$（假设$\sin B \neq 0$）：
    $\sin(3B) = \sin(5B)$

  3. 解三角方程：

    • 利用$\sin \alpha = \sin \beta$的通解：$\alpha = \beta + 2k\pi$或$\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$。
    • 有效解：$3B = 5B$（无解）或$3B = \pi - 5B$，解得$B = \frac{\pi}{8}$。
    • 代入$C = \pi - 3B$，得$C = \frac{5\pi}{8}$。

第（2）题

目标：证明$2a^2 = b^2 + c^2$。

步骤分解：

  1. 原方程变形：
    $\sin C \sin(A-B) = \sin B \sin(C-A)$
    展开并整理得：
    $\sin A \sin C \cos B + \sin A \sin B \cos C = 2 \sin B \sin C \cos A$

  2. 应用正弦定理：
    设$a = 2R \sin A$，$b = 2R \sin B$，$c = 2R \sin C$，代入上式化简得：
    $\cot B + \cot C = 2 \cot A$

  3. 转化为边长关系：

    • 利用$\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C} \cdot 2 \cot A$，结合余弦定理：
      $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
    • 最终推导得：
      $2a^2 = b^2 + c^2$