在 (-infty ,+infty ) 内连续、有界且有零点,但没有最大值及最小值的函数是 __-|||-A.sinx B.cosx C.arctanx D. dfrac (2x)(1+{x)^2}

本题考查函数的基本性质，包括连续性、有界性、零点存在性以及极值的存在性。解题的关键在于逐一分析每个选项是否满足所有条件：

1. 连续性：所有选项在实数范围内均连续，无需额外判断。
2. 有界性：需判断函数值是否被固定范围限制。
3. 零点存在性：需存在某个$x$使得函数值为$0$。
4. 无最大值和最小值：函数值域需存在上确界和下确界，但无法取到这些确界。

选项分析

A. $\sin x$

• 连续性：是。
• 有界性：值域为$[-1,1]$，是。
• 零点：当$x=k\pi$时，$\sin x=0$，存在。
• 极值：最大值$1$，最小值$-1$，存在，不符合条件。

B. $\cos x$

• 连续性：是。
• 有界性：值域为$[-1,1]$，是。
• 零点：当$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$时，$\cos x=0$，存在。
• 极值：最大值$1$，最小值$-1$，存在，不符合条件。

C. $\arctan x$

• 连续性：是。
• 有界性：值域为$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，是。
• 零点：当$x=0$时，$\arctan 0=0$，存在。
• 极值：当$x \to +\infty$时趋近于$\frac{\pi}{2}$，但无法取到；同理，下限为$-\frac{\pi}{2}$，无最大值和最小值，符合条件。

D. $\dfrac{2x}{1+x^2}$

• 连续性：是。
• 有界性：值域为$[-1,1]$，是。
• 零点：当$x=0$时，函数值为$0$，存在。
• 极值：当$x=1$时取最大值$1$，当$x=-1$时取最小值$-1$，存在，不符合条件。