函数y=1+ln(x+2)的反函数为

考查要点：本题主要考查反函数的概念及求法，涉及对数函数与指数函数的互化。

解题核心思路：

1. 交换原函数的自变量和因变量，将原函数表达式中的$x$和$y$互换。
2. 解方程，将新方程整理为$y = f^{-1}(x)$的形式。
3. 确定反函数的定义域，即原函数的值域。

破题关键点：

• 原函数定义域：由$\ln(x+2)$可知$x+2 > 0$，即$x > -2$。
• 原函数值域：$\ln(x+2)$的值域为$\mathbb{R}$，加上常数$1$后，原函数值域仍为$\mathbb{R}$，因此反函数的定义域为$\mathbb{R}$。

1. 交换变量
   原函数为$y = 1 + \ln(x+2)$，交换$x$和$y$得：
   $x = 1 + \ln(y+2)$

2. 解方程求$y$

   • 移项：$x - 1 = \ln(y+2)$
   • 取指数消去对数：$e^{x-1} = y + 2$
   • 整理得：$y = e^{x-1} - 2$

3. 确定定义域
   原函数的值域为$\mathbb{R}$，因此反函数的定义域为$\mathbb{R}$。