题目
35.=xsqrt (4-{x)^2}在[0,2]上满足罗尔定理的=xsqrt (4-{x)^2}=____
35.
在[0,2]上满足罗尔定理的
=____
题目解答
答案
根据罗尔定理：
函数在[0,2]连续，在(0,2)内可导，∴存在
，使得
得
（∵，∴
舍去）
答案为
解析
步骤 1：验证函数在区间[0,2]上的连续性
函数$y=x\sqrt {4-{x}^{2}}$在[0,2]上连续，因为根号下的表达式$4-x^2$在[0,2]上非负，且$x$和$\sqrt{4-x^2}$都是连续函数。
步骤 2：验证函数在区间(0,2)上的可导性
函数$y=x\sqrt {4-{x}^{2}}$在(0,2)上可导，因为$x$和$\sqrt{4-x^2}$在(0,2)上都是可导的，且乘积的导数存在。
步骤 3：验证函数在区间端点的函数值相等
$f(0)=0\sqrt{4-0^2}=0$
$f(2)=2\sqrt{4-2^2}=0$
因此，$f(0)=f(2)$。
步骤 4：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi)=0$。
计算$f'(x)$：
$f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$
令$f'(\xi)=0$，得到：
$\frac{4-2\xi^2}{\sqrt{4-\xi^2}}=0$
解得：$4-2\xi^2=0$
$\xi^2=2$
$\xi=\sqrt{2}$（因为$\xi \in (0,2)$，所以$\xi=-\sqrt{2}$舍去）
函数$y=x\sqrt {4-{x}^{2}}$在[0,2]上连续，因为根号下的表达式$4-x^2$在[0,2]上非负，且$x$和$\sqrt{4-x^2}$都是连续函数。
步骤 2：验证函数在区间(0,2)上的可导性
函数$y=x\sqrt {4-{x}^{2}}$在(0,2)上可导，因为$x$和$\sqrt{4-x^2}$在(0,2)上都是可导的，且乘积的导数存在。
步骤 3：验证函数在区间端点的函数值相等
$f(0)=0\sqrt{4-0^2}=0$
$f(2)=2\sqrt{4-2^2}=0$
因此，$f(0)=f(2)$。
步骤 4：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi)=0$。
计算$f'(x)$：
$f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$
令$f'(\xi)=0$，得到：
$\frac{4-2\xi^2}{\sqrt{4-\xi^2}}=0$
解得：$4-2\xi^2=0$
$\xi^2=2$
$\xi=\sqrt{2}$（因为$\xi \in (0,2)$，所以$\xi=-\sqrt{2}$舍去）