1.利用 lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(n))}^n=e 求下列极限:-|||-(1) lim _(narrow infty )((1-dfrac {1)(n))}^n;-|||-(2) lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(n))}^n+1;-|||-(3) lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(n+1))}^n;

考查要点：本题主要考查利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)}^{n}=e$，通过变形、变量替换或拆分指数等方法，求解类似形式的极限。

解题核心思路：

1. 识别结构：将题目中的表达式转化为与已知极限相似的形式，通常涉及调整分母、指数或变量替换。
2. 变形技巧：通过拆分指数、分离常数项或引入新变量，使极限表达式与已知形式匹配。
3. 极限性质：利用极限的乘积法则、指数函数的连续性等性质简化计算。

破题关键点：

• 第（1）题：将负号纳入分母，转化为 $\left(1+\dfrac{-1}{n}\right)^n$，直接应用已知极限。
• 第（2）题：拆分指数为 $n+1 = n \cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)$，结合已知极限和极限的乘积性质。
• 第（3）题：通过变量替换 $m = n+1$，将分母调整为 $m$，转化为已知形式。

第（1）题

关键变形：将负号纳入分母，转化为已知极限形式。
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1-\dfrac {1}{n}\right)}^{n} = \lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {-1}{n}\right)}^{n}$
根据已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {a}{n}\right)}^{n} = e^{a}$（$a$ 为常数），直接得：
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {-1}{n}\right)}^{n} = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$

第（2）题

拆分指数：将 $n+1$ 拆分为 $n \cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)$：
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)}^{n+1} = \lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)}^{n} \cdot \left(1+\dfrac {1}{n}\right)$
已知 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)}^{n} = e$，且 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)} = 1$，因此：
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)}^{n+1} = e \cdot 1 = e$

第（3）题

变量替换：令 $m = n+1$，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$m \rightarrow \infty$，原式变为：
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{n+1}\right)}^{n} = \lim _{m\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{m}\right)}^{m-1}$
拆分指数：
$\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {1}{m}\right)}^{m} \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{m}} = e \cdot 1 = e$