14.设随机变量X1 X2的概率密度分别为-|||-_(1)(x)= ) 2(e)^-2x,xgt 0 0,xleqslant 0).-|||-(2)又设X1,X2相互独立,求E(X1X2).

考查要点：本题主要考查指数分布的期望计算、期望的线性性质以及独立随机变量乘积的期望。

解题思路：

1. 识别指数分布：根据概率密度函数形式，确定X₁和X₂均为指数分布，参数分别为λ₁=2和λ₂=4。
2. 利用期望公式：指数分布的期望为1/λ，直接计算E(X₁)和E(X₂)。
3. 线性性质应用：对线性组合E(aX + bY)直接拆分为aE(X) + bE(Y)。
4. 方差与期望平方关系：通过方差公式计算E(X₂²)。
5. 独立变量性质：若X₁和X₂独立，则E(X₁X₂)=E(X₁)E(X₂)。

第（1）题

求 $E(X_1 + X_2)$

1. 指数分布期望：
   X₁服从参数λ₁=2的指数分布，故 $E(X_1) = \dfrac{1}{\lambda_1} = \dfrac{1}{2}$；
   X₂服从参数λ₂=4的指数分布，故 $E(X_2) = \dfrac{1}{\lambda_2} = \dfrac{1}{4}$。
2. 线性性质：
   $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$

求 $E(2X_1 - 3X_2^2)$

1. 计算E(2X₁)：
   $E(2X_1) = 2E(X_1) = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1.$
2. 计算E(3X₂²)：
   • 方差公式：$D(X_2) = \dfrac{1}{\lambda_2^2} = \dfrac{1}{16}$，
   • 期望平方：$E(X_2^2) = D(X_2) + [E(X_2)]^2 = \dfrac{1}{16} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{8}$，
   • 结果：$E(3X_2^2) = 3 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$。
3. 线性组合：
   $E(2X_1 - 3X_2^2) = E(2X_1) - E(3X_2^2) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}.$

第（2）题

求 $E(X_1X_2)$

1. 独立性性质：
   若X₁和X₂独立，则 $E(X_1X_2) = E(X_1)E(X_2)$。
2. 代入期望值：
   $E(X_1X_2) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}.$