题目
7.求上半球 0leqslant zleqslantsqrt(a^2)-x^(2-y^2)与圆柱体x^2+y^2leqslant ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影.
7.求上半球 $ 0\leqslant z\leqslant\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$与圆柱体$x^{2}+y^{2}\leqslant ax(a>0)$的公共部分在xOy面和zOx面上的投影.
题目解答
答案
在 $xOy$ 面上，圆柱体 $x^2 + y^2 \leq ax$ 投影为自身，包含于球投影 $x^2 + y^2 \leq a^2$ 内，故投影为：
\[
\boxed{x^2 + y^2 \leq ax}
\]
在 $zOx$ 面上，令 $y = 0$，圆柱体变为 $0 \leq x \leq a$，球变为 $0 \leq z \leq \sqrt{a^2 - x^2}$。将 $y^2 = ax - x^2$ 代入球方程得：
\[
z = \sqrt{a^2 - ax}
\]
投影为：
\[
\boxed{0 \leq z \leq \sqrt{a^2 - ax}, \quad 0 \leq x \leq a}
\]
或表示为：
\[
\boxed{z^2 + ax \leq a^2, \quad 0 \leq x \leq a, \quad z \geq 0}
\]