设y(x)是区间 (0,dfrac (3)(2)) 内的可导函数,且 (1)=0, 点P是曲线 :y=y(x)-|||-上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,Yp ),法线与x轴相交于点(Xp,0),-|||-若 _(P)=(Y)_(P), 求L上点的坐标(x,y)满足的方程.

考查要点：本题主要考查微分方程的建立与求解，涉及几何应用中的切线与法线方程，以及齐次方程的变量替换方法。

解题核心思路：

1. 建立几何条件方程：根据题意，切线在y轴的截距$Y_P$等于法线在x轴的截距$X_P$，需分别求出这两个截距表达式。
2. 转化为微分方程：通过联立$X_P = Y_P$，整理得到关于$y'(x)$的微分方程。
3. 变量替换求解：识别方程为齐次方程，通过令$u = \dfrac{y}{x}$进行变量替换，将方程转化为可分离变量的形式，积分后得到通解。
4. 应用初始条件：利用$y(1)=0$确定积分常数，得到特解。

破题关键点：

• 正确写出切线与法线方程，并求出截距$Y_P$和$X_P$。
• 识别齐次方程结构，通过变量替换简化方程。
• 积分过程中的代数变形，确保符号与对数项的正确处理。

1. 求切线与法线的截距

切线方程：在点$(x, y)$处，切线斜率为$y'(x)$，方程为：
$Y - y = y'(x)(X - x)$
当$X = 0$时，切线在y轴的截距为：
$Y_P = y - x y'(x)$

法线方程：法线斜率为$-\dfrac{1}{y'(x)}$，方程为：
$Y - y = -\dfrac{1}{y'(x)}(X - x)$
当$Y = 0$时，法线在x轴的截距为：
$X_P = x + y y'(x)$

2. 建立微分方程

根据条件$X_P = Y_P$，联立得：
$x + y y'(x) = y - x y'(x)$
整理后得到：
$y'(x) = \dfrac{y - x}{y + x}$

3. 变量替换求解

令$u = \dfrac{y}{x}$，则$y = u x$，$y' = u + x \dfrac{du}{dx}$。代入微分方程：
$u + x \dfrac{du}{dx} = \dfrac{u - 1}{1 + u}$
分离变量并积分：
$\int \dfrac{1 + u}{1 + u^2} du = -\int \dfrac{dx}{x}$
积分结果为：
$\arctan u + \dfrac{1}{2} \ln(1 + u^2) = -\ln x + C$
将$u = \dfrac{y}{x}$代回，整理得：
$\ln(x^2 + y^2) + 2 \arctan \dfrac{y}{x} = C$

4. 应用初始条件

当$x = 1$，$y = 0$时，代入得$C = 0$，最终方程为：
$\ln(x^2 + y^2) + 2 \arctan \dfrac{y}{x} = 0$