题目

函数v=x+y是函数u=x+y的共轭调和函数.A对B错

函数v=x+y是函数u=x+y的共轭调和函数.

A对B错

题目解答

答案

假设 u(x, y) 和 v(x, y) 是解析函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)的实部和虚部。

检查柯西-黎曼方程：

（成立）

（不成立）

由于第二个柯西-黎曼方程不成立，因此 v = x + y不是 u = x + y的共轭调和函数。

所以，正确答案是 B. 错。

解析

共轭调和函数的判断需要满足柯西-黎曼方程。题目中给出的函数$u(x,y)=x+y$和$v(x,y)=x+y$，需验证它们是否满足：

  1. $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}$；
  2. $\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}$。

关键点：若两个方程均成立，则$v$是$u$的共轭调和函数；否则不成立。

  1. 计算偏导数：

    • 对$u(x,y)=x+y$：
      • $\dfrac{\partial u}{\partial x} = 1$；
      • $\dfrac{\partial u}{\partial y} = 1$。
    • 对$v(x,y)=x+y$：
      • $\dfrac{\partial v}{\partial x} = 1$；
      • $\dfrac{\partial v}{\partial y} = 1$。

  2. 验证柯西-黎曼方程：

    • 第一个方程：$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow 1 = 1$（成立）。
    • 第二个方程：$\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow 1 = -1$（不成立）。

结论：由于第二个方程不成立，$v = x + y$不是$u = x + y$的共轭调和函数。