题目
设曲线 =a(x)^3+b(x)^2 以点(1,3)为拐点,则数组 (a,b)= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定点(1,3)在曲线 $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}$ 上
由于点(1,3)在曲线上，代入点的坐标得到方程：$3=a(1)^{3}+b(1)^{2}$，即 $a+b=3$。 ①
步骤 2：确定点(1,3)为曲线的拐点
拐点处的二阶导数为0，即 $y''(1)=0$。计算二阶导数 $y''=6ax+2b$，代入点(1,3)得到方程：$6a+2b=0$，即 $3a+b=0$。 ②
步骤 3：联立两个方程求解a和b
联立方程①和②，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a+b=3 \\
3a+b=0
\end{cases}
$$
解方程组得到 $a=-\dfrac {3}{2}$，$b=\dfrac {9}{2}$。
由于点(1,3)在曲线上，代入点的坐标得到方程：$3=a(1)^{3}+b(1)^{2}$，即 $a+b=3$。 ①
步骤 2：确定点(1,3)为曲线的拐点
拐点处的二阶导数为0，即 $y''(1)=0$。计算二阶导数 $y''=6ax+2b$，代入点(1,3)得到方程：$6a+2b=0$，即 $3a+b=0$。 ②
步骤 3：联立两个方程求解a和b
联立方程①和②，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a+b=3 \\
3a+b=0
\end{cases}
$$
解方程组得到 $a=-\dfrac {3}{2}$，$b=\dfrac {9}{2}$。