[单选题] 设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则().A. r(A,AB)=r(A)B. r(A,BA)=r(A)C. r(A,B)=max(r(A),r(B))D. r(A,B)=r(AT,BT)

本题考查矩阵秩的性质，特别是分块矩阵的秩与原矩阵秩的关系。解题核心在于理解分块矩阵的结构对秩的影响，以及乘积矩阵的秩特性。关键点包括：

1. 分块矩阵的秩与列空间的关系：若分块矩阵的列空间由某一部分完全包含另一部分，则整体秩等于该部分的秩。
2. 乘积矩阵的秩特性：如$AB$的列空间包含在$A$的列空间中，$BA$的秩与$A$的秩的关系等。
3. 反例的构造：通过构造特例验证选项的正确性。

选项A：$r(A, AB) = r(A)$

分块矩阵$(A, AB)$为横向排列，列数相加，行数相同。

• 关键推导：$AB$的列是$A$的列的线性组合，因此$AB$的列空间包含在$A$的列空间中。整体分块矩阵的列空间仍为$A$的列空间，故$r(A, AB) = r(A)$。

选项B：$r(A, BA) = r(A)$

分块矩阵$\begin{pmatrix} A \\ BA \end{pmatrix}$为纵向排列，行数相加，列数相同。

• 反例：若$A$为列满秩矩阵，$BA$的行可能与$A$的行线性无关，导致整体秩大于$r(A)$，故选项B错误。

选项C：$r(A,B) = \max\{r(A), r(B)\}$

• 反例：若$A$和$B$的列空间线性无关，则$r(A,B) = r(A) + r(B)$，此时$\max\{r(A), r(B)\}$不成立，故选项C错误。

选项D：$r(A,B) = r(A^T, B^T)$

• 反例：若$A$和$B$为行向量且线性无关，则$r(A,B) = 1$，而$r(A^T, B^T) = 2$，故选项D错误。