题目

证明:当x>0时,有不等式^2xgt x+sin x+cos xx+sin x+cos x" data-width="203" data-height="26" data-size="2606" data-format="png" style="">。解法如下:令^2xgt x+sin x+cos x在^2xgt x+sin x+cos x时^2xgt x+sin x+cos x^2xgt x+sin x+cos x当x>0时,f''(x)>0,从而f(x)单调增,f'(x)>f'(0)=0 因此f(x)当x>0时单调增,进而f(x)>f(0) =0即^2xgt x+sin x+cos xx+sin x+cos x" data-width="203" data-height="26" data-size="2606" data-format="png" style="">。A对B错

证明:当x>0时,有不等式 $e^{2x}>x+\sin x+\cos x$ 。

解法如下:令 $f(x) =e^{2 x}-x- \sin x- \cos x$ 在 $x \in (0, \frac{\pi} 2)$ 时

$f' (x) =2 e^{2 x} -1- \cos x+ \sin x$

$f''(x) =4 e^{2 x}+ \sin x+ \cos x$

当x>0时,f''(x)>0,从而f(x)单调增,f'(x)>f'(0)=0

因此f(x)当x>0时单调增,进而f(x)>f(0) =0

即 $e^{2x}>x+\sin x+\cos x$ 。

A对

B错

题目解答

答案

$\begin{aligned}&构造函数f(x)=e^{2x}-x-\sin x-\cos x，x\in(0,\frac{\pi}{2})\\ & f'(x)=2e^{2x}-1-\cos x+\sin x，\\&f''(x)=4e^{2x}+\sin x+\cos x\\ & 当x\gt0时，由于e^{2x}\gt1，且\sin x+\cos x\gt -2\\&（在任何情况下\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\geq-\sqrt{2}\gt -2）\\&f''(x)=4e^{2x}+\sin x+\cos x\gt4\times1 - 2 = 2\gt0\\ & 这表明f'(x)在x\gt0时单调递增\\ & 又因为f'(0)=2e^{2\times0}-1-\cos0+\sin0 = 0，\\&所以当x\gt0时，f'(x)\gt f'(0)=0\\ & 进而f(x)在x\gt0时也单调递增\\ & 且f(0)=e^{2\times0}-0-\sin0-\cos0 = 0，所以当x\gt0时，\\&f(x)\gt f(0)=0，即e^{2x}\gt x+\sin x+\cos x\\ &故答案是 A 对\\ \end{aligned}$