设 f(x) 在 x=1 处连续,且 dfrac (f(x)-2x)({e)^x-1-1}-dfrac (1)(ln x) 在 x=1-|||-的某去心邻域有界,则 f(1) 等于 ()-|||-(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的性质，以及利用极限存在性判断函数有界性的能力。关键在于通过构造表达式分析其极限行为，进而求解函数值。

解题核心思路：

1. 连续性条件：利用$f(x)$在$x=1$处连续，得出$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$。
2. 有界性条件：表达式$\dfrac{f(x)-2x}{x-1} - \dfrac{1}{\ln x}$在$x=1$附近有界，说明当$x \to 1$时，该表达式的极限必须存在且有限。
3. 泰勒展开近似：将$\ln x$展开为$x-1$的高阶小项，简化表达式，分析分子分母的趋近关系，最终通过极限存在性确定$f(1)$的值。

破题关键点：

• 分子必须趋近于0：当$x \to 1$时，分母$x-1 \to 0$，若分子$f(x)-2x-1$不趋近于0，则分式会趋向无穷大，导致表达式无界，与题设矛盾。因此，必须满足$f(1)-3=0$，即$f(1)=3$。

构造表达式并分析极限：
题目中定义$g(x) = \dfrac{f(x)-2x}{x-1} - \dfrac{1}{\ln x}$，要求$g(x)$在$x=1$附近有界。

1. 近似展开$\ln x$：
   当$x \to 1$时，$\ln x \approx x-1 - \dfrac{(x-1)^2}{2}$，因此$\dfrac{1}{\ln x} \approx \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{2}$。

2. 简化$g(x)$：
   $g(x) \approx \dfrac{f(x)-2x}{x-1} - \left( \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{f(x)-2x-1}{x-1} - \dfrac{1}{2}.$

3. 分析分式$\dfrac{f(x)-2x-1}{x-1}$：

   • 若$x \to 1$时，分子$f(x)-2x-1 \to 0$，则分式可能有有限极限。
   • 若分子不趋近于0，则分式趋向无穷大，导致$g(x)$无界，与题设矛盾。

4. 利用连续性求$f(1)$：
   由$f(x)$在$x=1$处连续，$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$，代入分子极限得：
   $f(1) - 2 \cdot 1 - 1 = 0 \implies f(1) = 3.$