题目

已知椭圆C：((x)^2)/((a)^2)+((y)^2)/((b)^2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上任意一点，且overrightarrow(M{F)_(1)}•overrightarrow(M{F)_(2)}的取值范围为[2，3]．当点M不在x轴上时，设△MF1F2的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（　　）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (2)/(3)D. 1已知椭圆C：((x)^2)/((a)^2)+((y)^2)/((b)^2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上任意一点，且overrightarrow(M{F)_(1)}•overrightarrow(M{F)_(2)}的取值范围为[2，3]．当点M不在x轴上时，设△MF1F2的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（　　）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (2)/(3)D. 1

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上任意一点，且$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范围为[2，3]．当点M不在x轴上时，设△MF1F2的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（　　）
  • A. $\frac{1}{3}$
  • B. $\frac{1}{2}$
  • C. $\frac{2}{3}$
  • D. 1

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上任意一点，且$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范围为[2，3]．当点M不在x轴上时，设△MF1F2的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（　　）
  • A. $\frac{1}{3}$
  • B. $\frac{1}{2}$
  • C. $\frac{2}{3}$
  • D. 1

题目解答

答案

菁优网解：$\overrightarrow{M{F}_{1}}⋅\overrightarrow{M{F}_{2}}=（\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{F}_{1}}）⋅（\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{O{F}_{1}}）={\overrightarrow{MO}}^{2}-{\overrightarrow{O{F}_{1}}}^{2}={\overrightarrow{MO}}^{2}-{c}^{2}$，
${|\overrightarrow{MO}|}_{max}=a，{|\overrightarrow{MO}|}_{min}=b$，∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}⋅\overrightarrow{M{F}_{2}}∈[{b}^{2}-{c}^{2}，{a}^{2}-{c}^{2}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b}^{2}-{c}^{2}=2\\{a}^{2}-{c}^{2}=3\end{array}\right.$，解得：a2=4，b2=3，c2=1，
设∠F1MF2=θ，MF1=r1，MF2=r2，
由正弦定理可得：$2n=\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sinθ}⇒n=\frac{c}{sinθ}=\frac{1}{sinθ}$，
$cosθ=\frac{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}-{（2c）}^{2}}{2{r}_{1}⋅{r}_{2}}=\frac{{（{r}_{1}+{r}_{2}）}^{2}-2{r}_{1}⋅{r}_{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}⋅{r}_{2}}=\frac{4{b}^{2}-2{r}_{1}⋅{r}_{2}}{2{r}_{1}⋅{r}_{2}}$，
可得：${r}_{1}⋅{r}_{2}=\frac{2{b}^{2}}{cosθ+1}$，
又∵${S}_{△M{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{1}{2}{r}_{1}{r}_{2}sinθ={b}^{2}\frac{sinθ}{cosθ+1}={b}^{2}\frac{2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}}={b}^{2}tan\frac{θ}{2}=3tan\frac{θ}{2}$，
设内切圆的圆心为A，
∴${S}_{△M{F}_{2}{F}_{1}}={S}_{△A{F}_{2}{F}_{1}}+{S}_{△A{F}_{2}M}+{S}_{△AM{F}_{1}}=\frac{1}{2}（{F}_{1}{F}_{2}+M{F}_{1}+M{F}_{2}）m=\frac{1}{2}（2a+2c）m=3m$，
∴$3tan\frac{θ}{2}=3m⇒m=tan\frac{θ}{2}$，∴$mn=\frac{tan\frac{θ}{2}}{sinθ}=\frac{1}{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}}$，
又∵当M在短轴的端点时，θ最大，此时MF1=MF2=F1F2=2，θ=60°，
$θ∈（0°，60°]，\frac{θ}{2}∈（0°，30°]$，∴$cos\frac{θ}{2}∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$，
故当$cos\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，mn取得最大值为$\frac{1}{2×\frac{3}{4}}=\frac{2}{3}$．
故选：C．
菁优网解：$\overrightarrow{M{F}_{1}}⋅\overrightarrow{M{F}_{2}}=（\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{F}_{1}}）⋅（\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{O{F}_{1}}）={\overrightarrow{MO}}^{2}-{\overrightarrow{O{F}_{1}}}^{2}={\overrightarrow{MO}}^{2}-{c}^{2}$，
${|\overrightarrow{MO}|}_{max}=a，{|\overrightarrow{MO}|}_{min}=b$，∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}⋅\overrightarrow{M{F}_{2}}∈[{b}^{2}-{c}^{2}，{a}^{2}-{c}^{2}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b}^{2}-{c}^{2}=2\\{a}^{2}-{c}^{2}=3\end{array}\right.$，解得：a2=4，b2=3，c2=1，
设∠F1MF2=θ，MF1=r1，MF2=r2，
由正弦定理可得：$2n=\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sinθ}⇒n=\frac{c}{sinθ}=\frac{1}{sinθ}$，
$cosθ=\frac{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}-{（2c）}^{2}}{2{r}_{1}⋅{r}_{2}}=\frac{{（{r}_{1}+{r}_{2}）}^{2}-2{r}_{1}⋅{r}_{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}⋅{r}_{2}}=\frac{4{b}^{2}-2{r}_{1}⋅{r}_{2}}{2{r}_{1}⋅{r}_{2}}$，
可得：${r}_{1}⋅{r}_{2}=\frac{2{b}^{2}}{cosθ+1}$，
又∵${S}_{△M{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{1}{2}{r}_{1}{r}_{2}sinθ={b}^{2}\frac{sinθ}{cosθ+1}={b}^{2}\frac{2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}}={b}^{2}tan\frac{θ}{2}=3tan\frac{θ}{2}$，
设内切圆的圆心为A，
∴${S}_{△M{F}_{2}{F}_{1}}={S}_{△A{F}_{2}{F}_{1}}+{S}_{△A{F}_{2}M}+{S}_{△AM{F}_{1}}=\frac{1}{2}（{F}_{1}{F}_{2}+M{F}_{1}+M{F}_{2}）m=\frac{1}{2}（2a+2c）m=3m$，
∴$3tan\frac{θ}{2}=3m⇒m=tan\frac{θ}{2}$，∴$mn=\frac{tan\frac{θ}{2}}{sinθ}=\frac{1}{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}}$，
又∵当M在短轴的端点时，θ最大，此时MF1=MF2=F1F2=2，θ=60°，
$θ∈（0°，60°]，\frac{θ}{2}∈（0°，30°]$，∴$cos\frac{θ}{2}∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$，
故当$cos\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，mn取得最大值为$\frac{1}{2×\frac{3}{4}}=\frac{2}{3}$．
故选：C．

解析

步骤 1：计算椭圆参数
根据题意，椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，其中$a＞b＞0$。已知$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范围为[2，3]。利用向量点积的性质，可以得到$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$的表达式，进而求出椭圆的参数$a$和$b$。
步骤 2：计算内切圆半径m
当点M不在x轴上时，设△MF_1F_2的内切圆半径为m。利用三角形面积公式和内切圆半径的性质，可以求出m的表达式。
步骤 3：计算外接圆半径n
设△MF_1F_2的外接圆半径为n。利用正弦定理和外接圆半径的性质，可以求出n的表达式。
步骤 4：计算mn的最大值
根据m和n的表达式，可以求出mn的表达式。利用三角函数的性质，可以求出mn的最大值。