(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^2xcos xdx;

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理指数函数与三角函数乘积的积分。
解题核心思路：通过两次分部积分，将原积分转化为自身出现的方程，解方程求出结果。
破题关键点：

1. 正确选择分部积分中的$u$和$dv$，优先选择指数函数作为$u$，三角函数作为$dv$。
2. 观察积分形式的重复性，通过代数变形将原积分表示为方程求解。

设原积分为$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \cos x \, dx$，步骤如下：

第一次分部积分

• 令$u = e^{2x}$，则$du = 2e^{2x} dx$；
  令$dv = \cos x \, dx$，则$v = \sin x$。
• 分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
  $I = e^{2x} \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \sin x \, dx$

第二次分部积分

对剩余积分$\int e^{2x} \sin x \, dx$再次分部积分：

• 令$u = e^{2x}$，则$du = 2e^{2x} dx$；
  令$dv = \sin x \, dx$，则$v = -\cos x$。
• 分部积分得：
  $\int e^{2x} \sin x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx$

代入并解方程

将第二次分部积分结果代入原式：
$I = e^{2x} \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - 2 \left( -e^{2x} \cos x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2I \right)$
展开并整理：
$I = \left[ e^{\pi} \cdot 0 - e^{0} \cdot 0 \right] - 2 \left( -e^{\pi} \cdot 0 + e^{0} \cdot 1 + 4I \right)$
化简得：
$I = 0 - 2 \left( 1 + 4I \right) \implies I = -2 - 8I$
解得：
$I = \frac{1}{5} \left( e^{\pi} - 2 \right)$