题目

一小球从地面以初速度vo铅直上抛,假设重力不变,空气阻力为vo其中k为常数,以地面为坐标原点如图建立竖直向上的坐标轴y,试写出质点运动微分方程与初始条件。假设上抛高度h。如下描述正确的是_。voA.上升段、下降段的质点运动微分方程相同,初始条件相同。B.上升段、下降段的质点运动微分方程相B同,初始条件不同。C上升段、下降段的质点运动微分方程不同,初始条件相同。D上升段、下降段的质点运动微分方程不同,初始条件不同。

一小球从地面以初速度 $\vec {v_0}$ 铅直上抛,假设重力不变,空气阻力为 $\vec R=-k \vec v,$ 其中k为常数,以地面为坐标原点如图建立竖直向上的坐标轴y,试写出质点运动微分方程与初始条件。假设上抛高度h。如下描述正确的是_。

A.上升段、下降段的质点运动微分方程相同,初始条件相同。

B.上升段、下降段的质点运动微分方程相B同,初始条件不同。

C上升段、下降段的质点运动微分方程不同,初始条件相同。

D上升段、下降段的质点运动微分方程不同,初始条件不同。

题目解答

（1）上升阶段：

小球受到竖直向下的重力和阻碍小球上升的空气阻力，方向竖直向下，根据牛顿第二定律 $-mg-kv=ma_1$

再结合 $v=\frac{dy}{dt},\ a_1=\frac{d^2y}{dt^2}$ ,可将上式变为 $-mg-k\frac{dy}{dt}=m\frac{d^2y}{dt^2}$

即 $\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}\frac{dy}{dt}+g=0$ ,为小球运动微分方程。

初始条件为 $y\mid_{t=0}=0,\ \frac{dy}{dt}\mid_{t=0}=v_0$ ;

（2）下降阶段：

小球受到竖直向下的重力，此时小球受到的空气阻力位竖直向上，根据牛顿第二定律可得

$-mg+kv=m\frac{d^2y}{dt^2}$

$\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{k}{m}\frac{dy}{dt}+g=0$

初始条件为 $y\mid_{t=0}=h,\ \frac{dy}{dt}\mid_{t=0}=0$

所以上升段、下降段的质点运动微分方程不同,初始条件不同，选D。