题目
18.设随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) 3x,0lt xlt 1,0lt ylt x 0 .-|||-求边缘概率密度,并问X和Y是否相互独立?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算边缘概率密度 ${f}_{x}(x)$
边缘概率密度 ${f}_{x}(x)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $y$ 上积分得到的。对于给定的 $x$，$y$ 的范围是 $0$ 到 $x$。因此，我们有：
${f}_{x}(x)={\int }_{0}^{x}f(x,y)dy={\int }_{0}^{x}3xdy=3x{\int }_{0}^{x}dy=3x[x-0]=3{x}^{2}$，其中 $0\lt x\lt 1$。
步骤 2：计算边缘概率密度 ${f}_{Y}(y)$
边缘概率密度 ${f}_{Y}(y)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $x$ 上积分得到的。对于给定的 $y$，$x$ 的范围是 $y$ 到 $1$。因此，我们有：
${f}_{Y}(y)={\int }_{y}^{1}f(x,y)dx={\int }_{y}^{1}3xdx=\dfrac {3}{2}{x}^{2}{|}_{y}^{1}=\dfrac {3}{2}(1-{y}^{2})$，其中 $0\lt y\lt 1$。
步骤 3：判断X和Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是它们的联合概率密度函数等于它们边缘概率密度函数的乘积，即 $f(x,y)={f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$。我们来验证这一点：
$f(x,y)=3x$，${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)=3{x}^{2}\cdot \dfrac {3}{2}(1-{y}^{2})=\dfrac {9}{2}{x}^{2}(1-{y}^{2})$。
显然，$f(x,y)\neq {f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$，因此X和Y不独立。
边缘概率密度 ${f}_{x}(x)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $y$ 上积分得到的。对于给定的 $x$，$y$ 的范围是 $0$ 到 $x$。因此，我们有：
${f}_{x}(x)={\int }_{0}^{x}f(x,y)dy={\int }_{0}^{x}3xdy=3x{\int }_{0}^{x}dy=3x[x-0]=3{x}^{2}$，其中 $0\lt x\lt 1$。
步骤 2：计算边缘概率密度 ${f}_{Y}(y)$
边缘概率密度 ${f}_{Y}(y)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $x$ 上积分得到的。对于给定的 $y$，$x$ 的范围是 $y$ 到 $1$。因此，我们有：
${f}_{Y}(y)={\int }_{y}^{1}f(x,y)dx={\int }_{y}^{1}3xdx=\dfrac {3}{2}{x}^{2}{|}_{y}^{1}=\dfrac {3}{2}(1-{y}^{2})$，其中 $0\lt y\lt 1$。
步骤 3：判断X和Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是它们的联合概率密度函数等于它们边缘概率密度函数的乘积，即 $f(x,y)={f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$。我们来验证这一点：
$f(x,y)=3x$，${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)=3{x}^{2}\cdot \dfrac {3}{2}(1-{y}^{2})=\dfrac {9}{2}{x}^{2}(1-{y}^{2})$。
显然，$f(x,y)\neq {f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$，因此X和Y不独立。