2.设f(z)=(e^z)/(z^2)-1，求Res(f(z),∞).

考查要点：本题主要考查复变函数中无穷远点留数的计算方法，涉及洛朗级数展开和留数定理的应用。

解题核心思路：

1. 无穷远点留数的转换公式：利用变量代换 $z = \frac{1}{w}$，将 $\text{Res}(f(z), \infty)$ 转换为 $\text{Res}\left( -\frac{1}{w^2}f\left( \frac{1}{w} \right), 0 \right)$。
2. 函数展开为洛朗级数：将转换后的函数分解为两个已知级数的乘积，分别展开后通过柯西乘积找到 $\frac{1}{z}$ 项的系数。
3. 特殊函数求和：识别级数求和结果与双曲正弦函数 $\sinh(1)$ 的关系，最终得到答案。

破题关键点：

• 正确应用无穷远点留数公式，注意符号变化。
• 准确展开 $e^{1/z}$ 和 $\frac{1}{1-z^2}$ 的洛朗级数，并找到乘积中 $\frac{1}{z}$ 项的系数。
• 联系级数和 $\sinh(1)$ 的表达式，简化结果。

步骤1：应用无穷远点留数公式

根据无穷远点留数的定义：
$\text{Res}(f(z), \infty) = -\text{Res}\left( \frac{1}{z^2} f\left( \frac{1}{z} \right), 0 \right).$
将 $f(z) = \frac{e^z}{z^2 - 1}$ 代入，得：
$\frac{1}{z^2} f\left( \frac{1}{z} \right) = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{e^{1/z}}{\left( \frac{1}{z^2} \right) - 1} = \frac{e^{1/z}}{1 - z^2}.$

步骤2：展开洛朗级数

1. 展开 $e^{1/z}$：
   $e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! z^n}.$
2. 展开 $\frac{1}{1 - z^2}$（几何级数）：
   $\frac{1}{1 - z^2} = \sum_{m=0}^{\infty} z^{2m}, \quad |z| < 1.$

步骤3：柯西乘积求 $\frac{1}{z}$ 项系数

将两级数相乘：
$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{z^{2m - n}}{n!}.$
寻找指数为 $-1$ 的项，即解方程 $2m - n = -1$，得 $n = 2m + 1$。系数为：
$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(2m+1)!} = \sinh(1).$

步骤4：计算最终结果

根据公式：
$\text{Res}(f(z), \infty) = -\sinh(1) = -\frac{e - e^{-1}}{2}.$