大一高数微分方程的通解问题 （1）xy'+1=e^y；（2）y''-y=xe^-x

（1）方程 $xy' + 1 = e^y$
本题考查一阶微分方程的变量替换解法。核心思路是通过设 $u = e^y$ 进行变量替换，将原方程转化为关于 $u$ 的线性微分方程或可分离变量方程，再通过积分求解。关键在于正确进行变量替换并分离变量。

（2）方程 $y'' - y = xe^{-x}$
本题考查二阶非齐次线性微分方程的解法。需先求对应齐次方程的通解（特征方程法），再通过待定系数法构造特解。关键点在于确定特解形式时，因非齐次项 $xe^{-x}$ 与齐次解重复，需乘以 $x$ 避免冲突。

（1）方程 $xy' + 1 = e^y$

变量替换

设 $u = e^y$，则 $y = \ln u$，导数关系为：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$

代入原方程

原方程变为：
$x \cdot \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + 1 = u$
整理得：
$\frac{x}{u} \frac{du}{dx} = u - 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{u(u-1)} = \frac{dx}{x}$

分离变量积分

对两边积分：
$\int \frac{1}{u(u-1)} du = \int \frac{1}{x} dx$
通过部分分式分解左边积分：
$\int \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} \right) du = \ln x + C$
结果为：
$\ln(u-1) - \ln u = \ln x + C \quad \Rightarrow \quad \ln\left(1 - \frac{1}{u}\right) = \ln x + C$

回代并整理

指数化后得：
$1 - \frac{1}{u} = Cx \quad \Rightarrow \quad u = \frac{1}{1 - Cx}$
回代 $u = e^y$，最终通解为：
$y = \ln\left( \frac{1}{1 - Cx} \right) = -\ln(1 - Cx)$

（2）方程 $y'' - y = xe^{-x}$

求齐次方程通解

齐次方程 $y'' - y = 0$ 的特征方程为：
$\lambda^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm 1$
因此齐次通解为：
$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

构造特解形式

非齐次项 $xe^{-x}$ 中 $e^{-x}$ 是齐次解，故设特解形式为：
$y_p = x(ax + b)e^{-x}$

代入方程求系数

计算二阶导数并代入原方程：
$y_p'' - y_p = x e^{-x} \quad \Rightarrow \quad -4ax e^{-x} - 2b e^{-x} = x e^{-x}$
比较系数得：
$\begin{cases}-4a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{4} \\-2b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0\end{cases}$
（注：此处原答案中 $b = -\frac{1}{4}$ 有误，正确应为 $b = 0$）

写出通解

最终通解为齐次解加特解：
$y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{4} x^2 e^{-x}$