题目
1.10 解方程: ^3+1=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程重写为标准形式
方程 ${z}^{3}+1=0$ 可以重写为 ${z}^{3}=-1$。这表示我们需要找到所有满足 $z^3 = -1$ 的复数 $z$。
步骤 2：使用复数的极坐标形式
复数 $-1$ 可以表示为极坐标形式 $1 \cdot e^{i\pi}$，因为 $-1$ 的模为 $1$，幅角为 $\pi$。因此，我们需要找到所有满足 $z^3 = 1 \cdot e^{i\pi}$ 的复数 $z$。
步骤 3：应用 De Moivre 定理
根据 De Moivre 定理，$z^3 = 1 \cdot e^{i\pi}$ 的解可以表示为 $z = 1^{1/3} \cdot e^{i(\pi + 2k\pi)/3}$，其中 $k = 0, 1, 2$。因为 $1^{1/3} = 1$，所以解可以简化为 $z = e^{i(\pi + 2k\pi)/3}$。
步骤 4：计算具体的解
- 当 $k = 0$ 时，$z = e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
- 当 $k = 1$ 时，$z = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$。
- 当 $k = 2$ 时，$z = e^{i5\pi/3} = \cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
方程 ${z}^{3}+1=0$ 可以重写为 ${z}^{3}=-1$。这表示我们需要找到所有满足 $z^3 = -1$ 的复数 $z$。
步骤 2：使用复数的极坐标形式
复数 $-1$ 可以表示为极坐标形式 $1 \cdot e^{i\pi}$，因为 $-1$ 的模为 $1$，幅角为 $\pi$。因此，我们需要找到所有满足 $z^3 = 1 \cdot e^{i\pi}$ 的复数 $z$。
步骤 3：应用 De Moivre 定理
根据 De Moivre 定理，$z^3 = 1 \cdot e^{i\pi}$ 的解可以表示为 $z = 1^{1/3} \cdot e^{i(\pi + 2k\pi)/3}$，其中 $k = 0, 1, 2$。因为 $1^{1/3} = 1$，所以解可以简化为 $z = e^{i(\pi + 2k\pi)/3}$。
步骤 4：计算具体的解
- 当 $k = 0$ 时，$z = e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
- 当 $k = 1$ 时，$z = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$。
- 当 $k = 2$ 时，$z = e^{i5\pi/3} = \cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$。