题目

10、填空设向量组(2 1 3)^T,(4 lambda 6)^T线性相关，则参数lambda为____. (10分)

10、填空 设向量组$(2\ 1\ 3)^{T}$,$(4\ \lambda\ 6)^{T}$线性相关，则参数$\lambda$为____. (10分)

题目解答

答案

向量组 $(2, 1, 3)^T$ 和 $(4, \lambda, 6)^T$ 线性相关，当且仅当存在非零常数 $k$，使得 $(4, \lambda, 6)^T = k(2, 1, 3)^T$。 由 $4 = 2k$ 得 $k = 2$，代入得 $\lambda = k = 2$，且 $6 = 3k$ 也满足。 或由子矩阵行列式为零： \[ \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda - 4 = 0 \implies \lambda = 2 \] 因此，参数 $\lambda$ 的值为 $\boxed{2}$。

解析

本题考查向量组线性相关相关的知识点。解题思路是根据向量组线性相关的定义和性质来确定参数 $\lambda$ 的值。

  • **方法一：根据向量组线性相关的定义
    若两个向量 $\vec{a}=(2, 1, 3)^T$ 和 $\vec{b}=(4, \lambda, 6)^T$ 线性相关，则存在非零常数 $k$，使得 $\vec{b} = k\vec{a}k$，即：
    $\begin{pmatrix}4\\\lambda\\6\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2k\\k\\3k\end{pmatrix}$
    根据向量相等的定义，对应分量对应相等，则有：
    • 由第一个分量可得：$4 = 2k$，解得 $k = 24\frac{4}{2}}$ = 2$。
    • 将 $k = 2$ 代入第二个分量的等式 $\lambda = k$，可得 $\lambda = 2$。
    • 再验证第三个分量，当 $k = 2$ 时，$3k = 3\times2 = 6$，与向量 $\vec{b}$ 的第三个分量相等，满足条件。
      -方法二：根据子矩阵行列式为零的性质
      对于两个三维向量组成的向量组，若它们线性相关，则由这两个向量构成的二阶子矩阵的行列式为零。取向量组的前两个分量构成子矩阵 $\begin{pmatrix}2 & 4\\1 &\lambda\end{pmatrix}$，其行列式为：
      $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix}=2\times\lambda - 4\times1=2\lambda - 4$
      令行列式的值为零，即 $2\lambda - 4 = 0$，移项可得 $2\lambda = 4$，两边同时除以 $2$，解得 $\lambda = \frac{4}{2}= 2$。