下列函数中:(1) y = e^x; (2) y = lg x; (3) y = sin x + cos x; (4) y = 0, 可以作为微分方程 y' = y 的解的个数是A. 2B. 3C. 4D. 1

本题考查的知识点是判断给定函数是否为微分方程的解，解题思路是对每个函数分别求导，然后将函数本身和其导数代入微分方程$y' = y$，看等式是否成立，若成立则该函数是微分方程的解，最后统计解的个数。

对于函数$y = e^x$

• 首先，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，对$y = e^x$求导可得$y^\prime = e^x$。
• 然后，将$y = e^x$和$y^\prime = e^x$代入微分方程$y' = y$，得到$e^x = e^x$，等式成立，所以$y = e^x$是微分方程$y' = y$的解。

对于函数$y = \lg x$

• 先根据求导公式$(\lg x)^\prime=\frac{1}{x\ln10}$，对$y = \lg x$求导可得$y^\prime = \frac{1}{x\ln10}$。
• 再将$y = \lg x$和$y^\prime = \frac{1}{x\ln10}$代入微分方程$y' = y$，得到$\frac{1}{x\ln10} \neq \lg x$，等式不成立，所以$y = \lg x$不是微分方程$y' = y$的解。

对于函数$y = \sin x + \cos x$

• 依据求导公式$(\sin x)^\prime = \cos x$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，对$y = \sin x + \cos x$求导可得$y^\prime = (\sin x + \cos x)^\prime = \cos x - \sin x$。
• 把$y = \sin x + \cos x$和$y^\prime = \cos x - \sin x$代入微分方程$y' = y$，得到$\cos x - \sin x \neq \sin x + \cos x$，等式不成立，所以$y = \sin x + \cos x$不是微分方程$y' = y$的解。

对于函数$y = 0$

• 因为常数的导数为$0$，对$y = 0$求导可得$y^\prime = 0$。
• 将$y = 0$和$y^\prime = 0$代入微分方程$y' = y$，得到$0 = 0$，等式成立，所以$y = 0$是微分方程$y' = y$的解。

综上，$y = e^x$和$y = 0$是微分方程$y' = y$的解，一共有$2$个。