lim _(x arrow 0)(1+a sin x)^(1)/(x)=

我们要求解以下极限：

$\lim_{x \to 0}(1 + a \sin x)^{\frac{1}{x}}$

第一步：观察极限形式

当 $ x \to 0 $ 时，$\sin x \to 0$，所以 $1 + a \sin x \to 1$。而指数 $\frac{1}{x} \to \infty$（当 $x \to 0^+$）或 $-\infty$（当 $x \to 0^-$）。

因此，这个极限是 1 的无穷次幂 的形式，即 $1^\infty$，这是未定式，需要用一些技巧来处理。

第二步：取自然对数

我们设：

$L = \lim_{x \to 0}(1 + a \sin x)^{\frac{1}{x}}$

对两边取自然对数：

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + a \sin x)}{x}$

现在我们来求这个极限。

第三步：使用泰勒展开

我们知道当 $x \to 0$ 时：

• $\sin x \sim x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
• $\ln(1 + u) \sim u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$，当 $u \to 0$

所以：

$\ln(1 + a \sin x) \sim a \sin x - \frac{(a \sin x)^2}{2} + \cdots$

又因为 $\sin x \sim x$，所以：

$\ln(1 + a \sin x) \sim a x - \frac{a^2 x^2}{2} + \cdots$

因此：

$\frac{\ln(1 + a \sin x)}{x} \sim a - \frac{a^2 x}{2} + \cdots$

当 $x \to 0$ 时，后面项趋于 0，所以：

$\ln L = a \quad \Rightarrow \quad L = e^a$

最终答案：

$\boxed{e^a}$

总结：

我们通过取自然对数，将幂的形式转化为一个分式极限，然后使用泰勒展开近似处理，最终得到了结果 $e^a$。