题目

19.计算lim_(xto0)(1-x^2-e^-x^(2))/(xsin^3)2x.

19.计算$\lim_{x\to0}\frac{1-x^{2}-e^{-x^{2}}}{x\sin^{3}2x}$.

题目解答

答案

将原式中分母用等价无穷小代换，得
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{x \sin^3 2x} \sim \lim_{x \to 0} \frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{8x^4}.$
利用泰勒展开 $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \frac{x^4}{2}$，分子近似为
$1 - x^2 - e^{-x^2} \approx 1 - x^2 - \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2}\right) = -\frac{x^4}{2}.$
代入得
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{2}}{8x^4} = -\frac{1}{16}.$
或者，使用洛必达法则，经过多次求导和等价代换，同样得到结果 $-\frac{1}{16}$。

答案： $\boxed{-\frac{1}{16}}$

解析

本题考查极限的计算，解题思路是先利用等价无穷小对原式分母进行化简，再通过泰勒展开或洛必达法则来求解极限。

  1. 等价无穷小代换：
    当$x\to0$时，$\sin t\sim t$，那么$\sin 2x\sim 2x$，所以$\sin^{3}2x\sim (2x)^{3}=8x^{3}$。
    则原式$\lim_{x\to0}\frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{x\sin^{3}2x}$可化为$\lim_{x\to0}\frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{x\cdot 8x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{8x^{4}}$。
  2. 方法一：泰勒展开
    根据泰勒展开公式$e^{t}=1 + t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots$，将$t = -x^{2}$代入可得$e^{-x^{2}}=1 - x^{2}+\frac{(-x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-x^{2})^{3}}{3!}+\cdots=1 - x^{2}+\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{6}+\cdots$。
    当$x\to0$时，忽略高阶无穷小，$e^{-x^{2}}\approx 1 - x^{2}+\frac{x^{4}}{2}$。
    则分子$1 - x^2 - e^{-x^2}\approx 1 - x^2 - (1 - x^2+\frac{x^{4}}{2})=-\frac{x^{4}}{2}$。
    将其代入极限式可得：
    $\lim_{x\to0}\frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{8x^{4}}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^{4}}{2}}{8x^{4}}$
    分子分母同时约去$x^{4}$，得到$\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}}{8}=-\frac{1}{16}$。
  3. 方法二：洛必达法则
    对$\lim_{x\to0}\frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{8x^{4}}$使用洛必达法则，分子分母同时求导。
    根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(e^X)^\prime=e^X$，可得：
    $\lim_{x\to0}\frac{1 - x^2 - e^{-x^2}}{8x^{4}}=\lim_{x\to0}\frac{-2x + 2xe^{-x^2}}{32x^{3}}$
    分子分母同时约去$2x$，得到$\lim_{x\to0}\frac{-1 + e^{-x^2}}{16x^{2}}$。
    此时该极限仍为$\frac{0}{0}$型，再次使用洛必达法则，分子分母同时求导：
    $\lim_{x\to0}\frac{-1 + e^{-x^2}}{16x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{-2xe^{-x^2}}{32x}$
    分子分母同时约去$2x$，得到$\lim_{x\to0}\frac{-e^{-x^2}}{16}$。
    将$x = 0$代入可得$\frac{-e^{0}}{16}=-\frac{1}{16}$。