题目
5.试判断下列函数的可微性和解析性:-|||-(1) (z)=x(y)^2+i(x)^2y;-|||-(2) (z)=(x)^2+i(y)^2;-|||-(3) (z)=2(x)^3+3i(y)^3;-|||-(4) (z)=(x)^3-3x(y)^2+i(3(x)^2y-(y)^3).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义可微性和解析性
函数 $f(z)$ 在复平面上一点 $z_0$ 处可微，如果极限 $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$ 存在。函数 $f(z)$ 在复平面上一点 $z_0$ 处解析，如果它在 $z_0$ 的某个邻域内处处可微。
步骤 2：应用柯西-黎曼方程
对于函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，如果它在某点可微，则必须满足柯西-黎曼方程：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。
步骤 3：检查每个函数
(1) $f(z)=x{y}^{2}+i{x}^{2}y$
(2) $f(z)={x}^{2}+i{y}^{2}$
(3) $f(z)=2{x}^{3}+3i{y}^{3}$
(4) $f(z)={x}^{3}-3x{y}^{2}+i(3{x}^{2}y-{y}^{3})$
函数 $f(z)$ 在复平面上一点 $z_0$ 处可微，如果极限 $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$ 存在。函数 $f(z)$ 在复平面上一点 $z_0$ 处解析，如果它在 $z_0$ 的某个邻域内处处可微。
步骤 2：应用柯西-黎曼方程
对于函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，如果它在某点可微，则必须满足柯西-黎曼方程：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。
步骤 3：检查每个函数
(1) $f(z)=x{y}^{2}+i{x}^{2}y$
(2) $f(z)={x}^{2}+i{y}^{2}$
(3) $f(z)=2{x}^{3}+3i{y}^{3}$
(4) $f(z)={x}^{3}-3x{y}^{2}+i(3{x}^{2}y-{y}^{3})$