抛物线y^2=4x与直线x=1所围成的平面图形的面积为（）bigcirc(8)/(3)bigcirc(1)/(3)bigcirc(3)/(8)

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路是先确定抛物线与直线的交点，然后根据交点确定积分区间，再选择合适的积分变量，最后利用定积分的计算公式求出面积。

方法一：对$y$积分

1. 将抛物线方程变形：
   已知抛物线方程$y^{2}=4x$，变形为$x = \frac{y^{2}}{4}$。
2. 求交点坐标：
   联立抛物线方程$y^{2}=4x$与直线方程$x = 1$，将$x = 1$代入$y^{2}=4x$，可得$y^{2}=4$，解得$y=\pm2$。所以交点坐标为$(1, 2)$和$(1, -2)$。
3. 确定被积函数和积分区间：
   在$y$轴上，直线$x = 1$在抛物线$x = \frac{y^{2}}{4}$的右侧，所以被积函数为$1 - \frac{y^{2}}{4}$，积分区间为$[-2, 2]$。
4. 计算定积分：
   根据定积分的计算公式$\int_{a}^{b}f(y)dy=F(b)-F(a)$（其中$F(y)$是$f(y)$的一个原函数），对$\int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{y^{2}}{4}\right) \, dy$进行计算。
   先求$1 - \frac{y^{2}}{4}$的原函数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$1 - \frac{y^{2}}{4}$的原函数为$y - \frac{y^{3}}{12}$。
   则$\int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{y^{2}}{4}\right) \, dy=\left[ y - \frac{y^{3}}{12} \right]_{-2}^{2}$
   $=(2 - \frac{2^{3}}{12})-(-2 - \frac{(-2)^{3}}{12})$
   $=(2 - \frac{8}{12})-(-2 + \frac{8}{12})$
   $=2 - \frac{2}{3}+2 - \frac{2}{3}$
   $=4 - \frac{4}{3}$
   $=\frac{12 - 4}{3}=\frac{8}{3}$

方法二：对$x$积分

1. 确定被积函数和积分区间：
   对于抛物线$y^{2}=4x$，可得$y=\pm2\sqrt{x}$。在$x$轴上，积分区间为$[0, 1]$，被积函数为$4\sqrt{x}$（因为$y$有正负两个值，所以面积是$y = 2\sqrt{x}$与$y = -2\sqrt{x}$所围面积，即$2\times(2\sqrt{x}-(-2\sqrt{x})) = 4\sqrt{x}$）。
2. 计算定积分：
   根据定积分的计算公式$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，对$\int_{0}^{1} 4\sqrt{x} \, dx$进行计算。
   因为$4\sqrt{x}=4x^{\frac{1}{2}}$，其原函数为$4\times\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}$。
   则$\int_{0}^{1} 4\sqrt{x} \, dx=\left[\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}$
   $=\frac{8}{3}\times1^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{3}\times0^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}$