题目
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x-2)^2+y^2=r^2(r>0)上有且只有一个点P满足|PA|=2|PO|.则r的取值可以是( )A. 1B. 2C. 3D. 4
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数$k(k>0$且$k≠1)$的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知$O(0,0)$，$A(3,0)$，圆$C$：$(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$上有且只有一个点$P$满足$|PA|=2|PO|.$则$r$的取值可以是$(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
题目解答
答案
A. 1
解析
步骤 1：确定阿波罗尼斯圆的方程
根据题意，点$P$满足$|PA|=2|PO|$，即$P$点到$A(3,0)$的距离是到$O(0,0)$距离的两倍。设$P(x,y)$，则有$\sqrt{(x-3)^2+y^2}=2\sqrt{x^2+y^2}$。化简得$(x-3)^2+y^2=4(x^2+y^2)$，即$x^2+y^2+2x-3=0$。整理得$(x+1)^2+y^2=4$，所以阿波罗尼斯圆的方程为$(x+1)^2+y^2=4$。
步骤 2：确定圆$C$与阿波罗尼斯圆的位置关系
圆$C$的方程为$(x-2)^2+y^2=r^2$，圆心为$(2,0)$，半径为$r$。阿波罗尼斯圆的圆心为$(-1,0)$，半径为$2$。两圆的圆心距为$3$。根据题意，圆$C$上有且只有一个点$P$满足$|PA|=2|PO|$，即圆$C$与阿波罗尼斯圆相切。因此，$r+2=3$或$|r-2|=3$。解得$r=1$或$r=5$。但$r=5$不在选项中，所以$r=1$。
根据题意，点$P$满足$|PA|=2|PO|$，即$P$点到$A(3,0)$的距离是到$O(0,0)$距离的两倍。设$P(x,y)$，则有$\sqrt{(x-3)^2+y^2}=2\sqrt{x^2+y^2}$。化简得$(x-3)^2+y^2=4(x^2+y^2)$，即$x^2+y^2+2x-3=0$。整理得$(x+1)^2+y^2=4$，所以阿波罗尼斯圆的方程为$(x+1)^2+y^2=4$。
步骤 2：确定圆$C$与阿波罗尼斯圆的位置关系
圆$C$的方程为$(x-2)^2+y^2=r^2$，圆心为$(2,0)$，半径为$r$。阿波罗尼斯圆的圆心为$(-1,0)$，半径为$2$。两圆的圆心距为$3$。根据题意，圆$C$上有且只有一个点$P$满足$|PA|=2|PO|$，即圆$C$与阿波罗尼斯圆相切。因此，$r+2=3$或$|r-2|=3$。解得$r=1$或$r=5$。但$r=5$不在选项中，所以$r=1$。