设三位数 =overline (abc), 若以a,b,c为-|||-三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则-|||-这样的三位数n有多少个?

考查要点：本题主要考查排列组合与三角形三边关系的综合应用，需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论。

解题核心思路：

1. 分类讨论：将问题分为等边三角形和等腰非等边三角形两种情况。
2. 三角形三边条件：等腰三角形需满足两边之和大于第三边，特别注意当较大边作为底边时的限制条件。
3. 排列组合计算：通过组合数计算符合条件的数字组合，再考虑三位数的排列方式。

破题关键点：

• 等边三角形：直接计算三位数中所有数字相同的个数。
• 等腰非等边三角形：需排除不满足三角形三边关系的组合，再计算排列方式。

情况1：等边三角形

三位数的三个数字均相同，即$a = b = c$。

• $a$的取值范围为$1$到$9$，共$9$种可能，因此$n_1 = 9$。

情况2：等腰非等边三角形

1. 数字组合选择：

   • 从$1$到$9$中选择两个不同数字$a$和$b$（假设$a > b$），共有$\binom{9}{2} = 36$种组合。
   • 底边为$a$时：需满足$b + b > a$，即$a < 2b$。若不满足，则无法构成三角形。通过枚举，共有$20$种不满足的情况。
   • 底边为$b$时：总满足$a + a > b$（因$a > b$），无需额外限制。

2. 有效组合数：

   • 每个数字组合可作为底边的两种情况中，扣除不满足的情况，共$2 \times 36 - 20 = 52$种有效组合。

3. 排列方式：

   • 每个有效组合对应三位数中两个数字相同、一个不同的排列方式，共有$\binom{3}{2} = 3$种排列方式。
   • 因此，$n_2 = 52 \times 3 = 156$。

总数计算

将两种情况相加，总数为$n = n_1 + n_2 = 9 + 156 = 165$。