题目
3.计算曲线积分 iint dfrac (ydx-xdy)(2({x)^2+(y)^2)}, 其中L为圆周 ((x-1))^2+(y)^2=2, L的方-|||-向为逆时针方向.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径和被积函数
给定的曲线积分是 $q\dfrac {ydx-xdy}{2({x}^{2}+{y}^{2})}$，其中L为圆周 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=2$，L的方向为逆时针方向。被积函数可以写为 $Pdx + Qdy$ 的形式，其中 $P = \dfrac{y}{2(x^2 + y^2)}$，$Q = \dfrac{-x}{2(x^2 + y^2)}$。
步骤 2：应用格林公式
格林公式适用于闭合曲线上的积分，公式为 $\oint_{L} (Pdx + Qdy) = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$，其中D是L所围成的区域。首先计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-x}{2(x^2 + y^2)} \right) = \frac{-1}{2} \cdot \frac{2x^2 + 2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x^2 + 2y^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-y^2}{(x^2 + y^2)^2} - \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-1}{x^2 + y^2}$。
步骤 3：计算积分
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-1}{x^2 + y^2}$，在圆周 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=2$ 内部，这个表达式是连续的，所以可以应用格林公式。但是，由于被积函数在原点处不连续，我们需要考虑原点的影响。在原点附近，我们可以构造一个小圆周 $l$，其半径为 $\varepsilon$，并应用格林公式到由L和l围成的区域。由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ 在这个区域，所以 $\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = 0$。因此，原积分等于沿小圆周 $l$ 的积分的相反数。小圆周 $l$ 的参数方程为 $x = \varepsilon \cos \theta$，$y = \varepsilon \sin \theta$，$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$。代入被积函数，得到：
$$\oint_{l} \frac{ydx - xdy}{2(x^2 + y^2)} = \oint_{l} \frac{\varepsilon \sin \theta (-\varepsilon \sin \theta d\theta) - \varepsilon \cos \theta (\varepsilon \cos \theta d\theta)}{2\varepsilon^2} = -\frac{1}{2} \oint_{l} d\theta = -\pi$$
因此，原积分等于 $\pi$。
给定的曲线积分是 $q\dfrac {ydx-xdy}{2({x}^{2}+{y}^{2})}$，其中L为圆周 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=2$，L的方向为逆时针方向。被积函数可以写为 $Pdx + Qdy$ 的形式，其中 $P = \dfrac{y}{2(x^2 + y^2)}$，$Q = \dfrac{-x}{2(x^2 + y^2)}$。
步骤 2：应用格林公式
格林公式适用于闭合曲线上的积分，公式为 $\oint_{L} (Pdx + Qdy) = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$，其中D是L所围成的区域。首先计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-x}{2(x^2 + y^2)} \right) = \frac{-1}{2} \cdot \frac{2x^2 + 2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x^2 + 2y^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-y^2}{(x^2 + y^2)^2} - \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-1}{x^2 + y^2}$。
步骤 3：计算积分
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-1}{x^2 + y^2}$，在圆周 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=2$ 内部，这个表达式是连续的，所以可以应用格林公式。但是，由于被积函数在原点处不连续，我们需要考虑原点的影响。在原点附近，我们可以构造一个小圆周 $l$，其半径为 $\varepsilon$，并应用格林公式到由L和l围成的区域。由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ 在这个区域，所以 $\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = 0$。因此，原积分等于沿小圆周 $l$ 的积分的相反数。小圆周 $l$ 的参数方程为 $x = \varepsilon \cos \theta$，$y = \varepsilon \sin \theta$，$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$。代入被积函数，得到：
$$\oint_{l} \frac{ydx - xdy}{2(x^2 + y^2)} = \oint_{l} \frac{\varepsilon \sin \theta (-\varepsilon \sin \theta d\theta) - \varepsilon \cos \theta (\varepsilon \cos \theta d\theta)}{2\varepsilon^2} = -\frac{1}{2} \oint_{l} d\theta = -\pi$$
因此，原积分等于 $\pi$。