题目
[题目]求下列曲线所围成图形的面积: =ln x y轴-|||-与直线 =ln a, =ln b(bgt agt 0)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=\ln a$ 和 $y=\ln b$ 交于点 $(a, \ln a)$ 和 $(b, \ln b)$。因此，积分区间为 $[\ln a, \ln b]$。
步骤 2：确定积分函数
由于曲线 $y=\ln x$ 可以表示为 $x=e^y$，因此积分函数为 $e^y$。
步骤 3：计算面积
面积 $A$ 可以通过计算积分 $\int_{\ln a}^{\ln b} e^y dy$ 来得到。计算该积分，我们得到：
$$
A = \int_{\ln a}^{\ln b} e^y dy = e^y \Big|_{\ln a}^{\ln b} = e^{\ln b} - e^{\ln a} = b - a
$$
此外，还需要计算由 $y=\ln a$ 和 $y=\ln b$ 与 y 轴围成的矩形面积，即 $a(\ln b - \ln a)$。因此，总面积为：
$$
A = a(\ln b - \ln a) + (b - a)
$$
曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=\ln a$ 和 $y=\ln b$ 交于点 $(a, \ln a)$ 和 $(b, \ln b)$。因此，积分区间为 $[\ln a, \ln b]$。
步骤 2：确定积分函数
由于曲线 $y=\ln x$ 可以表示为 $x=e^y$，因此积分函数为 $e^y$。
步骤 3：计算面积
面积 $A$ 可以通过计算积分 $\int_{\ln a}^{\ln b} e^y dy$ 来得到。计算该积分，我们得到：
$$
A = \int_{\ln a}^{\ln b} e^y dy = e^y \Big|_{\ln a}^{\ln b} = e^{\ln b} - e^{\ln a} = b - a
$$
此外，还需要计算由 $y=\ln a$ 和 $y=\ln b$ 与 y 轴围成的矩形面积，即 $a(\ln b - \ln a)$。因此，总面积为：
$$
A = a(\ln b - \ln a) + (b - a)
$$