题目
13. (5.0分) 设曲线上点P(x,y)处法线与x轴的交点为Q，PQ被y轴平分，该曲线所满足的微分方程为____.A. yy'+x=0B. yy'+2x=0C. y'+xy=0D. y'-xy=0
13. (5.0分) 设曲线上点P(x,y)处法线与x轴的交点为Q，PQ被y轴平分，该曲线所满足的微分方程为____.
A. yy'+x=0
B. yy'+2x=0
C. y'+xy=0
D. y'-xy=0
题目解答
答案
B. yy'+2x=0
解析
步骤 1：确定法线方程
设曲线上的点 $P(x, y)$，法线斜率为 $-\frac{1}{y'}$。法线方程为： \[ Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x) \]
步骤 2：求法线与x轴的交点Q的横坐标
令 $Y = 0$，得与 $x$ 轴交点 $Q$ 的横坐标： \[ X = x + yy' \]
步骤 3：计算PQ中点的横坐标
中点横坐标为： \[ \frac{x + (x + yy')}{2} = \frac{2x + yy'}{2} \]
步骤 4：根据题意，中点在y轴上
由题意，中点在 $y$ 轴上，故： \[ 2x + yy' = 0 \]
步骤 5：整理得到微分方程
即： \[ yy' + 2x = 0 \]
设曲线上的点 $P(x, y)$，法线斜率为 $-\frac{1}{y'}$。法线方程为： \[ Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x) \]
步骤 2：求法线与x轴的交点Q的横坐标
令 $Y = 0$，得与 $x$ 轴交点 $Q$ 的横坐标： \[ X = x + yy' \]
步骤 3：计算PQ中点的横坐标
中点横坐标为： \[ \frac{x + (x + yy')}{2} = \frac{2x + yy'}{2} \]
步骤 4：根据题意，中点在y轴上
由题意，中点在 $y$ 轴上，故： \[ 2x + yy' = 0 \]
步骤 5：整理得到微分方程
即： \[ yy' + 2x = 0 \]