6.求由下列各曲线所围成的图形的面积：(1)ρ=2acosθ; (2)x=acos^3t,y=asin^3t; (3)ρ=2a(2+cosθ).

本题主要考查极坐标方程和参数方程所围成图形面积的计算，解题思路是根据不同曲线的方程形式，选择合适的面积计算公式进行求解。

（1）对于曲线$\rho = 2a\cos\theta$

• 首先，确定曲线的范围。因为$\rho\geq0$，所以$2a\cos\theta\geq0$，即$-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$。
• 然后，根据极坐标下图形面积公式$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta$（其中$\alpha$和$\beta$是积分区间的上下限），可得该曲线所围成图形的面积为：
  $\begin{align*}S_1&=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(2a\cos\theta)^{2}d\theta\\&=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4a^{2}\cos^{2}\theta d\theta\\&= 2a^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta d\theta\end{align*}$
• 利用三角函数的二倍角公式$\cos^{2}\theta=\frac{1 + \cos2\theta}{2}$对上式进行化简：
  $\begin{align*}S_1&= 2a^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 + \cos2\theta}{2}d\theta\\&= a^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos2\theta)d\theta\\&= a^{2}\left(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2\theta d\theta\right)\end{align*}$
• 分别计算两个积分：
  • $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1d\theta = \theta\big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi$。
  • 令$u = 2\theta$，则$du = 2d\theta$，当$\theta = -\frac{\pi}{2}$时，$u = -\pi$；当$\theta = \frac{\pi}{2}$时，$u = \pi$。所以$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2\theta d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos u du = \frac{1}{2}\sin u\big|_{-\pi}^{\pi} = 0$。
• 因此，$S_1 = a^{2}(\pi + 0)=\pi a^{2}$。

（2）对于曲线$x = a\cos^{3}t$，$y = a\sin^{3}t$

• 这是参数方程，根据参数方程下图形面积公式$S = \left|\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^\prime(t)dt\right|$。
• 先求$x^\prime(t)$：对$x = a\cos^{3}t$求导，根据复合函数求导法则$(u^n)^\prime = nu^{n - 1}u^\prime$，可得$x^\prime(t) = 3a\cos^{2}t(-\sin t)= -3a\cos^{2}t\sin t$。
• 曲线的一个周期$t$的范围是$[0, 2\pi]$，但由于曲线关于$x$轴和$y$轴对称，所以我们可以只计算第一象限部分的面积，然后乘以$4$。第一象限$t$的范围是$[0, \frac{\pi}{2}]$。
• 则该曲线所围成图形的面积为：
  $\begin{align*}S_2&= 4\left|\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^{3}t\cdot(-3a\cos^{2}t\sin t)dt\right|\\&= 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}t\cos^{2}t dt\end{align*}$
• 利用三角函数的降幂公式$\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$，$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$进行化简：
  $\begin{align*}\sin^{4}t\cos^{2}t&= (\sin^{2}t)^{2}\cos^{2}t\\&= (\frac{1 - \cos2t}{2})^{2}\cdot\frac{1 + \cos2t}{2}\\&= \frac{1}{8}(1 - 2\cos2t + \cos^{2}2t)(1 + \cos2t)\\&= \frac{1}{8}(1 - 2\cos2t + \frac{1 + \cos4t}{2})(1 + \cos2t)\\&= \frac{1}{16}(3 - 4\cos2t + \cos4t)(1 + \cos2t)\\&= \frac{1}{16}(3 + 3\cos2t - 4\cos2t - 4\cos^{2}2t + \cos4t + \cos4t\cos2t)\\&= \frac{1}{16}(3 - \cos2t - 2(1 + \cos4t) + \cos4t + \frac{1}{2}(\cos6t + \cos2t))\\&= \frac{1}{32}(1 - \cos2t - \cos4t + \cos6t)\end{align*}$
• 所以$S_2 = 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{32}(1 - \cos2t - \cos4t + \cos6t)dt$
  $\begin{align*}S_2&= \frac{3a^{2}}{8}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \cos2t - \cos4t + \cos6t)dt\\&= \frac{3a^{2}}{8}\left(t - \frac{1}{2}\sin2t - \frac{1}{4}\sin4t + \frac{1}{6}\sin6t\right)\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&= \frac{3a^{2}}{8}\left(\frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 - 0\right)\\&= \frac{3\pi a^{2}}{8}\end{align*}$

（3）对于曲线$\rho = 2a(2 + \cos\theta)$

• 曲线的范围是$[0, 2\pi]$，根据极坐标下图形面积公式$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta$，可得该曲线所围成图形的面积为：
  $\begin{align*}S_3&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[2a(2 + \cos\theta)]^{2}d\theta\\&= 2a^{2}\int_{0}^{2\pi}(4 + 4\cos\theta + \cos^{2}\theta)d\theta\\&= 2a^{2}\int_{0}^{2\pi}\left(4 + 4\cos\theta + \frac{1 + \cos2\theta}{2}\right)d\theta\\&= 2a^{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{9}{2} + 4\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta\right)d\theta\\&= 2a^{2}\left(\frac{9}{2}\theta + 4\sin\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta\right)\big|_{0}^{2\pi}\\&= 2a^{2}\left(\frac{9}{2}\times 2\pi + 0 + 0 - 0\right)\\&= 18\pi a^{2}\end{align*}$