题目

2 单选 (4分) 已知n阶矩阵A=}a&1&...&11&a&...&1...&...&...&...1&1&...&a，则对应矩阵的秩R(A)，错误的是 bigcircA. 当a=1时，R(A)=1; bigcircB. 当a≠1-n且a≠1时，|A|=n; bigcircC. 当a=1-n时，R(A)=n-1; bigcircD. 当a≠1-n且a≠1时，R(A)=n.

2 单选 (4分) 已知n阶矩阵$A=\begin{bmatrix}a&1&\cdots&1\\1&a&\cdots&1\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\1&1&\cdots&a\end{bmatrix}$，则对应矩阵的秩R(A)，错误的是 $\bigcirc$
A. 当a=1时，R(A)=1; $\bigcirc$
B. 当a≠1-n且a≠1时，|A|=n; $\bigcirc$
C. 当a=1-n时，R(A)=n-1; $\bigcirc$
D. 当a≠1-n且a≠1时，R(A)=n.

题目解答

答案

**答案：B** **解析：** A. 当 $a = 1$ 时，矩阵 $A$ 所有行相同，秩为 1，正确。 B. 当 $a \neq 1 - n$ 且 $a \neq 1$ 时，矩阵 $A$ 的行列式为 $|A| = (a-1+n)(a-1)^{n-1}$，选项中称 $|A| = n$，错误。 C. 当 $a = 1 - n$ 时，矩阵 $A$ 的特征值为 0（重数 1）和 $-n$（重数 $n-1$），秩为 $n-1$，正确。 D. 当 $a \neq 1 - n$ 且 $a \neq 1$ 时，矩阵 $A$ 的特征值均非 0，秩为 $n$，正确。 **结论：** 错误选项为 B。 $\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查特殊结构矩阵（主对角线为$a$，其余元素为$1$）的秩与行列式的性质，涉及矩阵的秩、行列式计算及特征值的应用。

解题核心思路：

  1. 矩阵结构分析：将矩阵分解为$(a-1)I + J$（$I$为单位矩阵，$J$为全1矩阵），利用$J$的秩为1且特征值易求的特点。
  2. 特征值法：通过特征值直接判断行列式和秩。$J$的特征值为$n$（对应全1向量）和$0$（重数$n-1$），因此$A$的特征值为$(a-1+n)$和$(a-1)$（重数$n-1$）。
  3. 关键结论：
    • 行列式：$|A| = (a-1+n)(a-1)^{n-1}$。
    • 秩：当$a=1$时所有行成比例（秩1）；当$a=1-n$时一个特征值为0（秩$n-1$）；其他情况特征值均非零（秩$n$）。

破题关键：通过特征值法快速判断行列式和秩，结合选项逐一验证。

选项分析

A. 当$a=1$时，$R(A)=1$

  • 验证：矩阵所有元素均为$1$，各行成比例，秩为$1$，正确。

B. 当$a \neq 1-n$且$a \neq 1$时，$|A|=n$

  • 计算：根据特征值，$|A| = (a-1+n)(a-1)^{n-1}$。
  • 错误点：选项中$|A|=n$仅在特定$a$值下成立（如$a=2$且$n=2$时$|A|=2$），但一般情况下不成立，错误。

C. 当$a=1-n$时，$R(A)=n-1$

  • 验证：特征值为$0$（对应$a-1+n=0$）和$-n$（重数$n-1$），非零特征值个数为$n-1$，正确。

D. 当$a \neq 1-n$且$a \neq 1$时，$R(A)=n$

  • 验证：所有特征值非零，行列式非零，矩阵满秩，正确。