题目

四、(10分)设矩阵A=(}5&0&00&5&40&4&12)且满足AX-2E=3X，求矩阵X。

四、(10分)设矩阵$A=\left(\begin{matrix}5&0&0\\0&5&4\\0&4&12\end{matrix}\right)$且满足$AX-2E=3X$，求矩阵X。

题目解答

答案

将方程 $AX - 2E = 3X$ 变形为 $(A - 3E)X = 2E$。 计算 $A - 3E = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 9 \end{pmatrix}$，其行列式 $\det(A - 3E) = 4$。 求伴随矩阵 $\text{adj}(A - 3E) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & -8 \\ 0 & -8 & 4 \end{pmatrix}$。 得逆矩阵 $(A - 3E)^{-1} = \frac{1}{4} \text{adj}(A - 3E) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$。 解得 $X = 2(A - 3E)^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵的运算、逆矩阵的求法以及伴随矩阵的应用。

解题核心思路：将原方程变形为$(A - 3E)X = 2E$，通过求解矩阵$(A - 3E)$的逆矩阵，最终得到$X$的表达式。

破题关键点：

  1. 方程变形：将方程整理为标准形式$(A - 3E)X = 2E$。
  2. 矩阵可逆性：验证$(A - 3E)$的行列式不为零，确保逆矩阵存在。
  3. 逆矩阵求法：利用伴随矩阵法计算逆矩阵，最终代入求解$X$。

步骤1：方程变形
原方程$AX - 2E = 3X$可变形为：
$(A - 3E)X = 2E$

步骤2：计算矩阵$A - 3E$
$A - 3E = \begin{pmatrix} 5-3 & 0 & 0 \\ 0 & 5-3 & 4 \\ 0 & 4 & 12-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 9 \end{pmatrix}$

步骤3：计算行列式$\det(A - 3E)$
按第一行展开：
$\det(A - 3E) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 9 - 4 \cdot 4) = 2 \cdot 2 = 4 \neq 0$
因此，矩阵可逆。

步骤4：求伴随矩阵$\text{adj}(A - 3E)$
通过计算各元素的代数余子式并转置，得到：
$\text{adj}(A - 3E) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & -8 \\ 0 & -8 & 4 \end{pmatrix}$

步骤5：求逆矩阵$(A - 3E)^{-1}$
$(A - 3E)^{-1} = \frac{1}{\det(A - 3E)} \cdot \text{adj}(A - 3E) = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & -8 \\ 0 & -8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

步骤6：求解矩阵$X$
根据方程$X = 2(A - 3E)^{-1}$，代入逆矩阵：
$X = 2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}$