有若干个数，第一个数记为(a)_(1)，第2个数记为(a)_(2)，第3个数记为(a)_(3)，···，第n个数记为(a)_(n)，若(a)_(1)=-dfrac(1)(2)，从第二个数起,每一个数都是"1"与它前面那个数的差的倒数.(1)直接写出(a)_(2)，(a)_(3)，(a)_(4)的值；(2)根据以上结果，计算(a)_(1)+(a)_(2)+(a)_(3)+cdot cdot cdot +(a)_(2025)+(a)_(2026).
有若干个数，第一个数记为${a}_{1}$，第2个数记为${a}_{2}$，第3个数记为${a}_{3}$，···，第n个数记为${a}_{n}$，若${a}_{1}=-\dfrac{1}{2}$，从第二个数起,每一个数都是"1"与它前面那个数的差的倒数.
(1)直接写出${a}_{2}$，${a}_{3}$，${a}_{4}$的值；
(2)根据以上结果，计算${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\cdot \cdot \cdot +{a}_{2025}+{a}_{2026}$.
题目解答
答案
本题考查了规律型:数字的变化类,解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律.
(1)根据每个数都是"1"与它前面那个数的差的倒数,依次进行计算,即可求出a2,a3,a4的值;
(2)根据(1)中的计算结果,从而得出这组数据的循环规律,从而求出这组数据的和.
(1)由题意得:
${a}_{1}=-\dfrac {1}{2}$,
${a}_{2}=\dfrac {1}{1-(-\dfrac {1}{2})}=\dfrac {2}{3}$,
${a}_{3}=\dfrac {1}{1-\dfrac {2}{3}}=3$,
${a}_{4}=\dfrac {1}{1-3}=-\dfrac {1}{2}$;
(2)由(1)可知这组数据为:
$-\dfrac {1}{2}$ ,$\dfrac{2}{3}$, 3,$-\dfrac {1}{2}$ ,$\dfrac{2}{3}$, 3,···,
3个数一循环,
则${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\cdots +{a}_{2025}+{a}_{2026}$
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+3)\times 675+(-\dfrac{1}{2})$
$=2137$.
解析
根据题意，${a}_{2}$是"1"与${a}_{1}$的差的倒数，即${a}_{2}=\dfrac{1}{1-{a}_{1}}$。将${a}_{1}=-\dfrac{1}{2}$代入，得到${a}_{2}=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}$。
步骤 2：计算${a}_{3}$的值
根据题意，${a}_{3}$是"1"与${a}_{2}$的差的倒数，即${a}_{3}=\dfrac{1}{1-{a}_{2}}$。将${a}_{2}=\dfrac{2}{3}$代入，得到${a}_{3}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}=3$。
步骤 3：计算${a}_{4}$的值
根据题意，${a}_{4}$是"1"与${a}_{3}$的差的倒数，即${a}_{4}=\dfrac{1}{1-{a}_{3}}$。将${a}_{3}=3$代入，得到${a}_{4}=\dfrac{1}{1-3}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：计算${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\cdots +{a}_{2025}+{a}_{2026}$
根据步骤1至步骤3，可以发现${a}_{1}=-\dfrac{1}{2}$，${a}_{2}=\dfrac{2}{3}$，${a}_{3}=3$，${a}_{4}=-\dfrac{1}{2}$，${a}_{5}=\dfrac{2}{3}$，${a}_{6}=3$，···，这组数据每3个数一循环。因此，${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\cdots +{a}_{2025}+{a}_{2026}$可以表示为$(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+3)\times 675+(-\dfrac{1}{2})$。
步骤 5：计算最终结果
$(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+3)\times 675+(-\dfrac{1}{2})=(\dfrac{-3+4+18}{6})\times 675-\dfrac{1}{2}=\dfrac{19}{6}\times 675-\dfrac{1}{2}=\dfrac{19\times 675}{6}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{12825}{6}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{12825-3}{6}=\dfrac{12822}{6}=2137$。