题目
微分方程 ''+2y'+10y=0 满足初值条件 (|)_(x=0)=1,-|||-'(|)_(x=0)=2 的特解为 __ -.A.微分方程 ''+2y'+10y=0 满足初值条件 (|)_(x=0)=1,-|||-'(|)_(x=0)=2 的特解为 __ -.B.微分方程 ''+2y'+10y=0 满足初值条件 (|)_(x=0)=1,-|||-'(|)_(x=0)=2 的特解为 __ -.C.微分方程 ''+2y'+10y=0 满足初值条件 (|)_(x=0)=1,-|||-'(|)_(x=0)=2 的特解为 __ -.D.微分方程 ''+2y'+10y=0 满足初值条件 (|)_(x=0)=1,-|||-'(|)_(x=0)=2 的特解为 __ -.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
C. $y={e}^{-x}(\cos 3x+\sin 3x)$
解析
步骤 1：求特征方程的根
给定的微分方程是 $y''+2y'+10y=0$。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。首先，我们求解其特征方程 $r^2+2r+10=0$。使用求根公式，我们得到 $r=\frac{-2\pm\sqrt{4-40}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}=-1\pm3i$。因此，特征根为 $r_1=-1+3i$ 和 $r_2=-1-3i$。
步骤 2：写出通解
由于特征根是复数，通解形式为 $y=e^{-x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是待定常数。
步骤 3：应用初值条件
应用初值条件 $y{|}_{x=0}=1$ 和 $y'{|}_{x=0}=2$。首先，将 $x=0$ 代入通解，得到 $1=C_1$。然后，求导得到 $y'=-e^{-x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)+e^{-x}(-3C_1\sin 3x+3C_2\cos 3x)$，将 $x=0$ 代入，得到 $2=-C_1+3C_2$。由于 $C_1=1$，代入得到 $2=-1+3C_2$，从而 $C_2=1$。
步骤 4：写出特解
将 $C_1=1$ 和 $C_2=1$ 代入通解，得到特解 $y=e^{-x}(\cos 3x+\sin 3x)$。
给定的微分方程是 $y''+2y'+10y=0$。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。首先，我们求解其特征方程 $r^2+2r+10=0$。使用求根公式，我们得到 $r=\frac{-2\pm\sqrt{4-40}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}=-1\pm3i$。因此，特征根为 $r_1=-1+3i$ 和 $r_2=-1-3i$。
步骤 2：写出通解
由于特征根是复数，通解形式为 $y=e^{-x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是待定常数。
步骤 3：应用初值条件
应用初值条件 $y{|}_{x=0}=1$ 和 $y'{|}_{x=0}=2$。首先，将 $x=0$ 代入通解，得到 $1=C_1$。然后，求导得到 $y'=-e^{-x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)+e^{-x}(-3C_1\sin 3x+3C_2\cos 3x)$，将 $x=0$ 代入，得到 $2=-C_1+3C_2$。由于 $C_1=1$，代入得到 $2=-1+3C_2$，从而 $C_2=1$。
步骤 4：写出特解
将 $C_1=1$ 和 $C_2=1$ 代入通解，得到特解 $y=e^{-x}(\cos 3x+\sin 3x)$。