题目
1.设A_(1)，A_(2)是[0，1]的可测子集，且mA_(1)+mA_(2)>1，则m(A_(1)cap A_(2))>0
1.设$A_{1}$，$A_{2}$是[0，1]的可测子集，且$mA_{1}+mA_{2}>1$，则$m(A_{1}\cap A_{2})>0$
题目解答
答案
为了证明 $ m(A_1 \cap A_2) > 0 $，我们从已知条件出发，即 $ A_1 $ 和 $ A_2 $ 是 $[0,1]$ 的可测子集，且 $ m(A_1) + m(A_2) > 1 $。我们使用可测集的性质，特别是关于集合的并和交的测度的性质。
首先，我们知道对于任意两个可测集 $ A_1 $ 和 $ A_2 $，以下不等式成立：
\[
m(A_1 \cup A_2) = m(A_1) + m(A_2) - m(A_1 \cap A_2).
\]
由于 $ A_1 \cup A_2 \subseteq [0,1] $，因此 $ A_1 \cup A_2 $ 的测度不超过 $[0,1]$ 的测度，即：
\[
m(A_1 \cup A_2) \leq 1.
\]
将 $ m(A_1 \cup A_2) $ 的表达式代入这个不等式，我们得到：
\[
m(A_1) + m(A_2) - m(A_1 \cap A_2) \leq 1.
\]
根据已知条件 $ m(A_1) + m(A_2) > 1 $，我们可以将这个不等式重写为：
\[
m(A_1 \cap A_2) \geq m(A_1) + m(A_2) - 1.
\]
由于 $ m(A_1) + m(A_2) > 1 $，因此 $ m(A_1) + m(A_2) - 1 > 0 $。于是，我们有：
\[
m(A_1 \cap A_2) > 0.
\]
这样，我们就证明了 $ m(A_1 \cap A_2) > 0 $。因此，答案是：
\[
\boxed{m(A_1 \cap A_2) > 0}
\]
解析
考查要点：本题主要考查测度论中集合的测度性质，特别是利用测度的可加性及集合的包含关系推导交集测度的下界。
解题核心思路：
通过测度的加法公式，将集合的并集测度与交集测度联系起来。结合并集测度不超过全集测度这一关键点，建立不等式，最终推导出交集测度的正性。
破题关键：
- 测度的加法公式：$m(A_1 \cup A_2) = m(A_1) + m(A_2) - m(A_1 \cap A_2)$。
- 并集测度的限制：由于$A_1 \cup A_2 \subseteq [0,1]$，故$m(A_1 \cup A_2) \leq 1$。
- 不等式变形：将已知条件$m(A_1) + m(A_2) > 1$代入公式，直接推导出$m(A_1 \cap A_2)$的下界。
步骤1：写出测度的加法公式
根据测度的可加性，对于可测集$A_1$和$A_2$，有：
$m(A_1 \cup A_2) = m(A_1) + m(A_2) - m(A_1 \cap A_2).$
步骤2：利用并集测度的限制
由于$A_1 \cup A_2 \subseteq [0,1]$，其测度不超过$[0,1]$的测度，即：
$m(A_1 \cup A_2) \leq 1.$
步骤3：联立不等式并变形
将加法公式代入并集测度的限制，得：
$m(A_1) + m(A_2) - m(A_1 \cap A_2) \leq 1.$
整理得：
$m(A_1 \cap A_2) \geq m(A_1) + m(A_2) - 1.$
步骤4：结合已知条件推导结论
题目给出$m(A_1) + m(A_2) > 1$，因此：
$m(A_1) + m(A_2) - 1 > 0.$
代入上一步的不等式，得：
$m(A_1 \cap A_2) > 0.$