题目
4.7 计算下列积分.-|||-(5) int dfrac ({e)^x}({(z-a))^3}dz ,其中a为 |a|neq 1 的任何复数,C: |z|=1 正向.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径和被积函数
积分路径为单位圆 $C: |z|=1$ 正向，被积函数为 $\dfrac{{e}^{z}}{{(z-a)}^{3}}$，其中 $a$ 为复数且 $|a|\neq 1$。
步骤 2：应用留数定理
留数定理指出，如果函数 $f(z)$ 在闭合曲线 $C$ 内部除了有限个孤立奇点外是解析的，那么 $f(z)$ 沿 $C$ 的积分等于 $2\pi i$ 乘以 $f(z)$ 在 $C$ 内部所有奇点的留数之和。对于本题，被积函数在 $z=a$ 处有三阶极点，因此我们需要计算该点的留数。
步骤 3：计算留数
对于三阶极点 $z=a$，留数的计算公式为：
$$\text{Res}(f,a) = \frac{1}{2!}\lim_{z\to a}\frac{d^2}{dz^2}[(z-a)^3f(z)]$$
将被积函数代入，得到：
$$\text{Res}(f,a) = \frac{1}{2}\lim_{z\to a}\frac{d^2}{dz^2}[{e}^{z}]$$
计算二阶导数：
$$\frac{d^2}{dz^2}[{e}^{z}] = {e}^{z}$$
因此，留数为：
$$\text{Res}(f,a) = \frac{1}{2}{e}^{a}$$
步骤 4：应用留数定理
根据留数定理，积分值为：
$$\int_{C} \dfrac{{e}^{z}}{{(z-a)}^{3}}dz = 2\pi i \times \text{Res}(f,a)$$
当 $|a| > 1$ 时，$a$ 不在单位圆内，因此积分值为 0。
当 $|a| < 1$ 时，$a$ 在单位圆内，因此积分值为：
$$\int_{C} \dfrac{{e}^{z}}{{(z-a)}^{3}}dz = 2\pi i \times \frac{1}{2}{e}^{a} = \pi {e}^{a}i$$
积分路径为单位圆 $C: |z|=1$ 正向，被积函数为 $\dfrac{{e}^{z}}{{(z-a)}^{3}}$，其中 $a$ 为复数且 $|a|\neq 1$。
步骤 2：应用留数定理
留数定理指出，如果函数 $f(z)$ 在闭合曲线 $C$ 内部除了有限个孤立奇点外是解析的，那么 $f(z)$ 沿 $C$ 的积分等于 $2\pi i$ 乘以 $f(z)$ 在 $C$ 内部所有奇点的留数之和。对于本题，被积函数在 $z=a$ 处有三阶极点，因此我们需要计算该点的留数。
步骤 3：计算留数
对于三阶极点 $z=a$，留数的计算公式为：
$$\text{Res}(f,a) = \frac{1}{2!}\lim_{z\to a}\frac{d^2}{dz^2}[(z-a)^3f(z)]$$
将被积函数代入，得到：
$$\text{Res}(f,a) = \frac{1}{2}\lim_{z\to a}\frac{d^2}{dz^2}[{e}^{z}]$$
计算二阶导数：
$$\frac{d^2}{dz^2}[{e}^{z}] = {e}^{z}$$
因此，留数为：
$$\text{Res}(f,a) = \frac{1}{2}{e}^{a}$$
步骤 4：应用留数定理
根据留数定理，积分值为：
$$\int_{C} \dfrac{{e}^{z}}{{(z-a)}^{3}}dz = 2\pi i \times \text{Res}(f,a)$$
当 $|a| > 1$ 时，$a$ 不在单位圆内，因此积分值为 0。
当 $|a| < 1$ 时，$a$ 在单位圆内，因此积分值为：
$$\int_{C} \dfrac{{e}^{z}}{{(z-a)}^{3}}dz = 2\pi i \times \frac{1}{2}{e}^{a} = \pi {e}^{a}i$$