题目
(4)已知函数f(x)=}(sin3x)/(x),&x>0,a+cos x,&xleqslant 0在x=0处连续，则a为____.
(4)已知函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin3x}{x},&x>0,\\a+\cos x,&x\leqslant 0\end{cases}$在x=0处连续，则a为____.
题目解答
答案
为了确定函数 $ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 3x}{x}, & x > 0, \\ a + \cos x, & x \leqslant 0 \end{cases} $ 在 $ x = 0 $ 处连续，我们需要确保函数在 $ x = 0 $ 处的左极限、右极限和函数值相等。即：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \]
首先，我们计算右极限 $ \lim_{x \to 0^+} f(x) $。当 $ x > 0 $ 时， $ f(x) = \frac{\sin 3x}{x} $。利用极限的性质和重要极限 $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $，我们有：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 \]
接下来，我们计算左极限 $ \lim_{x \to 0^-} f(x) $。当 $ x \leqslant 0 $ 时， $ f(x) = a + \cos x $。因此：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (a + \cos x) = a + \cos 0 = a + 1 \]
由于函数在 $ x = 0 $ 处连续，右极限和左极限必须相等，且等于 $ f(0) $。而 $ f(0) = a + \cos 0 = a + 1 $，所以：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \]
即：
\[ 3 = a + 1 \]
解这个方程，我们得到：
\[ a = 2 \]
因此， $ a $ 的值为 $ \boxed{2} $.
解析
步骤 1：计算右极限
当 $x > 0$ 时，$f(x) = \frac{\sin 3x}{x}$。利用极限的性质和重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，我们有：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 \]
步骤 2：计算左极限
当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x) = a + \cos x$。因此：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (a + \cos x) = a + \cos 0 = a + 1 \]
步骤 3：确定连续性条件
由于函数在 $x = 0$ 处连续，右极限和左极限必须相等，且等于 $f(0)$。而 $f(0) = a + \cos 0 = a + 1$，所以：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \]
即：
\[ 3 = a + 1 \]
解这个方程，我们得到：
\[ a = 2 \]
当 $x > 0$ 时，$f(x) = \frac{\sin 3x}{x}$。利用极限的性质和重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，我们有：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 \]
步骤 2：计算左极限
当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x) = a + \cos x$。因此：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (a + \cos x) = a + \cos 0 = a + 1 \]
步骤 3：确定连续性条件
由于函数在 $x = 0$ 处连续，右极限和左极限必须相等，且等于 $f(0)$。而 $f(0) = a + \cos 0 = a + 1$，所以：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \]
即：
\[ 3 = a + 1 \]
解这个方程，我们得到：
\[ a = 2 \]