题目
11.求由方程xy-e^x+e^y=0所确定的隐函数y的导数(dy)/(dx).
11.求由方程$xy-e^{x}+e^{y}=0$所确定的隐函数y的导数$\frac{dy}{dx}$.
题目解答
答案
对等式 $xy - e^x + e^y = 0$ 两边关于 $x$ 求导，得
\[
y + x \frac{dy}{dx} - e^x + e^y \frac{dy}{dx} = 0
\]
整理得
\[
(x + e^y) \frac{dy}{dx} = e^x - y
\]
解得
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - y}{x + e^y}
\]
**答案：**
$\boxed{\frac{e^x - y}{x + e^y}}$
解析
本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是对方程两边同时同时关于自变量 $x$ 求导，在求导过程中，要注意把 $y$ 看作是 $x$ 的函数，运用复合函数求导法则进行求导，然后通过移项、合并同类项等操作，解出 $\frac{dy}{dx}$。
下面进行详细的解答：
- 对给定方程 $xy - e^^x + e^y = 0$ 两边关于 $x$ 求导。
- 根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对于即 $\frac{d(xy)}{dx}$ 中，令 $u = x$，$v = y$，则 $\frac{d(xy)}{dx}=\frac{dx}{dx}\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}$。
- 对于 $\frac{d(-e^x)}{dx}$，根据求导公式 $(e^x)^\prime = e^x$，可得 $\frac{d(-e^x)}{dx}=-e^x$。
- 对于 $\frac{d(e^y)}{dx}$ 中，因为 $y$ 是 $x$ 的函数，根据复合函数求导法则，令 $u = y(x)$，则 $\frac{d(e^y)}{dx}=\frac{d(e^u)}{du}\cdot\frac{du}{dx}=e^y\frac{dy}{dx}$。
- 方程右边 $\frac{d(0)}{dx}=0$。
- 所以对 $xy - e^x + e^y = 0$ 两边求导后得到整理可得：$y + x\frac{dy}{dx}-e^x + e^y\frac{dy}{dx}=0$。
- 整理方程求解 $\frac{dy}{dx}$：
- 将含有 $\frac{dy}{dx}$ 的项项移到等式一边，常数项移到等式另一边，得到 $x\frac{dy}{dx}+e^y\frac{dy}{dx}=e^x - y$。
- 提取公因式 $\frac{dy}{dx}$，可得 $(x + e^y)\frac{dy}{dx}=e^x - y$。
- 两边同时除以 $x + e^y$（$x + e^y\neq0$），解得 $\frac{dy}{dx}=\frac{e^x - y}{x + e^y}$。